Nilpotentti matriisi

Nilpotentti matriisi on sellainen n×n-neliömatriisi, että jollakin kokonaisluvulla q

$A^q=O$,

missä $O$ on nollamatriisi. Esimerkiksi matriisi

$N=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

on nilpotentti, sillä $N^4=O$.

Ominaisuuksia

Nilpotentilla n×n-matriisilla M on seuraavat ominaisuudet:

1. Pienin kokonaisluku q, jolla $M^q=O$ on pienempi tai yhtä suuri kuin n.
2. Matriisi M on nilpotentti jos ja vain jos sen kaikki ominaisarvot ovat nollia.
3. Matriisin M karakteristinen polynomi on ${\lambda }^n$.
4. Sekä matriisin M jälki että sen determinantti ovat nollia.

Lisäksi

• Jokainen kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia on nilpotentti.

Katso myös

• Idempotentti matriisi