Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on skalaariarvoinen determinantti, joka kuvaa tiettyjä sitä vastaavan lineaarikuvauksen ominaisuuksia. Esimerkiksi $3\times 3$ matriisin determinantin itseisarvo kertoo kuinka paljon tilavuus muuttuu lineaarikuvauksessa. Neliömatriisin $A$ determinantti merkitään:

$\det A=\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$

Matriisin $A$ alimatriisi $A_{ij}$ saadaan poistamalla matriisista $i$:s vaakarivi ja $j$:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia $\det A_{ij}$ sanotaan alkion $a_{ij}$ alideterminantiksi.

Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin $A=[a_{ij}{]}_{n\times n}$ determinantti on

$\det A=\sum _{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{}\sigma (j_1,j_2,j_3,\dots ,j_n)\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot \dots \cdot a_{n{j}_n},$

jossa $(j_1,j_2,j_3,\dots ,j_n)$ on eräs $\{1,\dots ,n\}$:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja

$\sigma (j_1,j_2,j_3,...,j_n)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{jos }{j}_1,j_2,j_3,...,j_n\text{ on parillinen}\\ -1,& \text{jos }{j}_1,j_2,j_3,...,j_n\text{ on pariton}\end{array}$

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi $2\times 2$ determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\sigma (1,2)\cdot a\cdot d+\sigma (2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c$

Laskusääntöjä

• $\det \left(A^{\mathrm{T}}\right)=\det \left(A\right)$

• $\det (A\cdot B)=\det \left(A\right)\cdot \det \left(B\right)$, jossa A ja B ovat molemmat n $\times$ n -matriiseja.

• Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

$\det \left(A\right)=0$

• Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

$\det \left(A\right)=0$

• Jos matriisi A₁ saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,

$\det \left(A_1\right)=c\cdot \det \left(A\right)$

• Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

• Jos matriisi A₁ saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

$\det \left(A_1\right)=-\det \left(A\right)$

Sarrus’n sääntö on eräs menetelmä ja muistisääntö 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

$\det A=\sum _{k=1}^n{(-1)}^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ik},A\in {ℝ}^{n\times n},$

jossa A_ik on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja k:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

$\begin{array}{cc}\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 6& 0& 1\\ 3& 2& 0\end{array}\right|& =1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right|-5\cdot \left|\begin{array}{cc}6& 1\\ 3& 0\end{array}\right|+7\cdot \left|\begin{array}{cc}6& 0\\ 3& 2\end{array}\right|\\ & =1\cdot (0\cdot 0-2\cdot 1)-5\cdot (6\cdot 0-1\cdot 3)+7\cdot (6\cdot 2-0\cdot 3)=97\end{array}$

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo $25\times 25$ matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

$\det \left(A\right)=c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot \dots \cdot d_{nn}$

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja $d_{ii}$ ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

1. Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: $c=-1c_0$.
2. Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: $c=c_0$.
3. Kun kerrotaan rivi vakiolla k: $c=k{c}_0$.

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

Alkion komplementti

määritellään alkion $a_{ij}$ komplementti eli kofaktori

$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det A_{ij}$.

Matriisin $A=(a_{ij})$ adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

$\mathrm{adj}A={\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& \cdots & C_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{n1}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$.

Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia $A$ sanotaan kääntyväksi tai säännölliseksi, jos $\det A\ne 0$. Jos $\det A=0$, matriisi on singulaarinen.

Säännölliselle matriisille $A$ pätee

$A(\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}A)=I$ ja $(\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}A)A=I$.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

Geometrisia tulkintoja

Kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa determinantti vastaa lineaarikuvauksen geometrisia ominaisuuksia. Determinantin itseisarvo vastaa joko pinta-alan tai tilavuuden muutosta lineaarikuvauksessa. Determinantin positiivinen etumerkki tarkoittaa, että kätisyys ei muutu kuvauksessa, kun taas kätisyyden peilaavien kuvauksien determinantti on negatiivinen. Jos determinantti on $0$, lineaarikuvaus litistää pienempään ulottuvuuteen, suoralle tai tasolle.

Lisäksi determinantti vastaa matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.

Kirjallisuutta

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, Malline:ISBN
• de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273.
• Lay, David C. (22 elokuuta 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, Malline:ISBN
• Meyer, Carl D. (15 helmikuuta 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Malline:ISBN, archived from the original on 2009-10-31
• Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, Malline:ISBN
• G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 MR0019078
• Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, Malline:ISBN
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall

Muita lineaarialgebraan liittyviä kirjoja

• Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
• Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Leipzig: O. Wigand
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, Malline:ISBN
• Bretscher, Otto (2004), Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall, Malline:ISBN
• Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, Malline:ISBN
• Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra
• Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th ed.), Prentice Hall, Malline:ISBN
• Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, Malline:ISBN
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall, Malline:ISBN
• Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, Malline:ISBN. Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
• Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd ed.), Cengage – Brooks/Cole, Malline:ISBN
• Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st ed.), CRC Press, Malline:ISBN
• Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd ed.), AMS, Malline:ISBN
• Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, Malline:ISBN
• The Manga Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., Malline:ISBN
• Axler, Sheldon (February 26, 2004), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer, Malline:ISBN
• Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, Malline:ISBN
• Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Malline:ISBN
• Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, Malline:ISBN
• Gantmacher, Felix R. (2005), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, Malline:ISBN
• Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd ed.), American Mathematical Society, Malline:ISBN
• Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd ed.), American Mathematical Society, Malline:ISBN
• Gelfand, Israel M. (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, Malline:ISBN
• Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis, Dover Publications, Malline:ISBN
• Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, Malline:ISBN
• Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, Malline:ISBN
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (October 15, 1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd ed.), The Johns Hopkins University Press, Malline:ISBN
• Greub, Werner H. (October 16, 1981), Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th ed.), Springer, Malline:ISBN
• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., MR 0276251
• Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Malline:ISBN
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (September 7, 2018), Linear Algebra (5th ed.), Pearson, Malline:ISBN
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, Malline:ISBN
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, Malline:ISBN
• Lang, Serge (March 9, 2004), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, Malline:ISBN
• Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Dover Publications, Malline:ISBN
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Malline:ISBN, archived from the original on October 31, 2009
• Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear Algebra, Dover Publications, Malline:ISBN
• Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, Malline:ISBN
• Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, Malline:ISBN
• Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra, Dover Publications, Malline:ISBN
• Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Malline:ISBN
• Smith, Larry (May 28, 1998), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Malline:ISBN
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, Malline:ISBN
• Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, Malline:ISBN
• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd ed.), McGraw-Hill, Malline:ISBN
• Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, Malline:ISBN
• McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, Malline:ISBN
• Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, Malline:ISBN