Kolmiomatriisi

Lineaarialgebrassa kolmiomatriisi on neliömatriisin erikoistapaus. Kolmiomatriisin päälävistäjän ylä- tai alapuolella olevat alkiot ovat kaikki nollia.

Koska matriisiyhtälöt ovat kolmiomatriisien tapauksessa helppo ratkaista, ne ovat käyttökelpoisia numeerisessa analyysissä. LU-hajotelma antaa algoritmin, jolla jokainen kääntyvä matriisi A voidaan hajottaa alakolmiomatriisin L ja yläkolmiomatriisin U tuloksi.

Määritelmä

Matriisia

$𝐋=\left[\begin{array}{ccccc}{l}_{1,1}& & & & 0\\ l_{2,1}& l_{2,2}& & & \\ l_{3,1}& l_{3,2}& \ddots & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \\ l_{n,1}& l_{n,2}& \dots & l_{n,n-1}& l_{n,n}\end{array}\right]$

sanotaan alakolmiomatriisiksi eli vasemmaksi kolmiomatriisiksi, ja toisaalta matriisia muotoa

$𝐔=\left[\begin{array}{ccccc}{u}_{1,1}& u_{1,2}& u_{1,3}& \dots & u_{1,n}\\ & u_{2,2}& u_{2,3}& \dots & u_{2,n}\\ & & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0& & & & u_{n,n}\end{array}\right]$

sanotaan yläkolmiomatriisiksi tai oikeaksi kolmiomatriisiksi.

Kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia, on vahvasti ala-tai yläkolmiomatriiseja. Kaikki kolmiomatriisit ovat nilpotentteja matriiseja.

Jos kolmiomatriisin päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on matriisi yksikköylä/alakolmiomatriisi eli normitettu ylä/alakolmiomatriisi. Jos lisäksi kaikki muut kuin lävistäjäalkiot ovat yhtä lukuun ottamatta nollia, on matriisi atominen ylä/alakolmiomatriisi. Tätä matriisia sanotaan Gaussin muunnosmatriisiksi tai lyhyemmin Gaussin matriisiksi. Atominen alakolmiomatriisi on muotoa

${𝐋}_i=\left[\begin{array}{cccccc}1& & & & & 0\\ & \ddots & & & & \\ & & 1& & & \\ & & l_{i+1,i}& \ddots & & \\ & & ⋮& & \ddots & \\ 0& & l_{n,i}& & & 1\end{array}\right].$

Atomisen kolmiomatriisin käänteismatriisi on atominen kolmiomatriisi. Tarkemmin,

${𝐋}_i^{-1}=\left[\begin{array}{cccccc}1& & & & & 0\\ & \ddots & & & & \\ & & 1& & & \\ & & -l_{i+1,i}& \ddots & & \\ & & ⋮& & \ddots & \\ 0& & -l_{n,i}& & & 1\end{array}\right],$

eli käänteismatriisin ne alkiot, jotka eivät ole päälävistäjällä, ovat alkuperäisen matriisin vastalukuja.