Jälki

Malline:Tämä artikkeli Lineaarialgebrassa n×n-neliömatriisin A jälki on määritelmän mukaan A:n päälävistäjän alkioiden summa, eli

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$,

missä a_ii tarkoittaa A:n alkiota rivillä i ja sarakkeessa i. Jälki on siis kuvaus neliömatriisien joukosta ${ℳ}_n(ℂ)\to ℂ$.

Ominaisuuksia

Matriisin jälki on lineaarikuvaus, eli

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)+\mathrm{t}\mathrm{r}(B)$

$\mathrm{t}\mathrm{r}(rA)=r\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$

kaikille neliömatriiseille A ja B, sekä kaikille skalaareille $r\in ℂ$.

Koska päädiagonaali pysyy muuttumattomana transpoosissa, on neliömatriisilla ja sen transpoosilla sama jälki:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A^T)$.

Jos A on n×m-matriisi ja B on m×n-matriisi, on

$\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$,

vaikka matriisitulo ei olekaan kommutatiivinen. Edellisen nojalla jäljen sisällä olevien matriisien järjestystä voi kierrättää syklisesti

$\mathrm{t}\mathrm{r}(ABC)=\mathrm{t}\mathrm{r}(CAB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BCA)$.

Huomaa kuitenkin, ettei useamman matriisin järjestystä voi vaihtaa mielivaltaisesti. Tärkeä relaatio vallitsee myös matriisin ominaisarvojen ja jäljen välillä. Jos ${\lambda }_i$ ovat matriisin ominaisarvot, niin

$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$,

kun A on n×n-matriisi.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite