Idempotentti matriisi

Idempotentti matriisi on sellainen neliömatriisi, jolle

$A^2=A$.

Esimerkiksi voidaan laskea, että

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

eli kyseinen matriisi on idempotentti. Jos matriisi A on idempotentti ja I on identiteettimatriisi, niin

• $I-A$ on idempotentti

• $\mathrm{I}\mathrm{m}(I-A)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$

• $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(I-A)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$

• $K^n=\mathrm{I}\mathrm{m}(A)\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$

• $A$on diagonalisoituva

• $A$:n ainoat ominaisarvot ovat nolla ja/tai yksi ja ominaisarvon 1 kertaluku on sama kuin $A$:n aste.

Tässä merkintä $K^n$ tarkoittaa kunnan K muodostamaa n-ulotteista vektoriavaruutta, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$ on A:n ydin ja $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ on A:n kuva. Geometrisesti idempotentit matriisit vastaavat projektioita avaruudesta jollekin sen aliavaruudelle. Esimerkiksi jos $(x,y,z{)}^T$ on jokin ${ℝ}^3$:n vektori

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right]$,

eli edellisen esimerkin idempotentti matriisi kuvaa ${ℝ}^3$:n suoran $(x,y)$-tasoon. Jos idempotentti matriisi on lisäksi itseadjungoitu, sen kuvaama projektio on ortogonaalinen.

Ortogonaalisesti idempotentit matriisit

Erityisen tärkeän joukon muodostavat ortogonaalisesti idempotentit matriisit. Nämä ovat sellainen joukko matriiseja $\{E_1,E_2,...,E_n\}$, että kaikille joukon jäsenille pätee

1. $E_i^2=E_i$
2. $E_i{E}_j=0$

aina kun $i\ne j$. Jos lisäksi

$E_1+E_2+...+E_n=I$,

missä $I$ on identiteettimatriisi sanotaan ortogonaalisesti idempotenttien matriisien muodostavan täyden joukon. Ortogonaalisilla idempotenteilla on seuraavat ominaisuudet:

• $I-E_i$ on ortogonaaliseti idempotentti.
• Summa $E_i+E_j$ on ortogonaalisesti idempotentti kaikilla $i,j$.
• Jos $A=P{E}_i{P}^{-1}$ niin myös $A$ on ortogonaalisesti idempotentti.
• Eräs täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on joukko $\{E_{11},E_{22},...,E_{nn}\}$, missä kukin $E_{kk}$ on sellainen matriisi, jonka päädiagonaalilla sijaitseva alkio $e_{kk}$ on ykkönen ja kaikki muut alkiot nollia.

Täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on keskeinen tekijä matriisien spektraliesityksissä ja spektraalihajotelmissa, sillä ne muodostavat hajotelmaa vastaavan matriisin generoiman alialgebran kannan.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite