Sirkulaatio

Vektorikentän $𝐅$ sirkulaatio suljetun käyrän $𝒞$ ympäri on $\mathrm{\Gamma }={\oint }_{𝒞}𝐅\cdot \mathrm{d}𝐫={\oint }_{𝒞}\Vert 𝐅\Vert \cos \theta \mathrm{d}r$.

Vektorikentän viivaintegraali suljetun käyrän yli on sen kierto eli sirkulaatio (engl. circulation) tuon käyrän ympäri. Sirkulaatiota merkitään Γ:lla (iso kreikkalainen gamma-kirjain). Jos $𝐅$ on jatkuva vektorikenttä ja $𝒞$ on suljettu käyrä, jonka parametrisaatio on $𝐫:[a,b]\to {ℝ}^n$, niin $𝐅$:n sirkulaatio $𝒞$:n ympäri on integraali

$\mathrm{\Gamma }={\oint }_{𝒞}𝐅\cdot \mathrm{d}𝐫$

Integraalimerkissä oleva rengas painottaa sitä, että käyrä $𝒞$ on suljettu.

Stokesin lauseen mukaan vektorikentän kierto käyrän C ympäri vastaa vektorikentän roottorin integraalia minkä tahansa käyrän rajaaman pinnan S yli:

${\oint }_{𝒞}𝐅\cdot \mathrm{d}𝐬=\underset{𝒮}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \mathrm{d}𝐚$,

missä da on pinta-ala-alkio, joka on pintaa vastaan kohtisuora, ja jonka etumerkki määräytyy oikean käden säännön mukaisesti käyrän kiertosuunnan perusteella.

Sirkulaatio virtausmekaniikassa

Virtausmekaniikassa vektorikenttä $𝐅=𝐯(x,y,z)=v_x(x,y,z)𝐢+v_y(x,y,z)𝐣+v_z(x,y,z)𝐤$ on nesteen tai kaasun nopeus. Tällöin nopeuskentän sirkulaatio suljetun käyrän ympäri kertoo käyrän sisäpuolelle jäävien pyörteiden voimakkuudesta. Vapaan vorteksin, jonka voimakkuus on $K$, tapauksessa nopeuskentän sirkulaatio vorteksin ympäri on

$\mathrm{\Gamma }=2\pi K$.

Stokesin lausetta käyttämällä nähdään, että pyörteettömän virtauksen ($\mathrm{\nabla }\times 𝐯=0$) sirkulaatio minkä tahansa suljetun käyrän ympäri on nolla: Merkitään käyrän $𝒞$ rajaamaa pintaa $𝒮$:llä, jolloin Stokesin lauseen mukaan

$\mathrm{\Gamma }={\oint }_{𝒞}𝐯\cdot \mathrm{d}𝐫=\underset{𝒮}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐯)\cdot \mathrm{d}𝐒=0$.

Kutta–Žukovski-teoreema

Lentokoneen siipeen kohdistuva nostovoima lasketaan Kutta–Žukovski-teoreeman mukaan käyttäen ilmavirran nopeuden sirkulaatiota siipiprofiilin reunakäyrän ympäri.

Virtaukseen asetettuun lieriöön kohdistuvan nostovoiman suuruus $L$ riippuu virtauksen nopeuskentän sirkulaatiosta lieriön poikkipinnan reunakäyrän ympäri:

$\frac{L}{b}=-\rho U_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$,

missä

$b$ on lieriön pituus (virtauksen sisällä oleva osa),

$\rho$ on ympäröivän fluidin tiheys ja

$U_{\mathrm{\infty }}$ on vapaan virtauksen vauhti kaukana lieriöstä.

Miinusmerkki yhtälössä johtuu siitä, että nostovoiman suunta on 90° virtauksen suunnasta sirkulaation kiertosuuntaa vastaan.