Pinta (geometria)

Määritelmä

Olkoon $(X,𝒯)$ topologinen avaruus. Tällöin joukon $X$ pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus $\omega :D\to X$, missä joukko $D\subset {ℝ}^2$ on yhtenäinen.

Kuvauksen $\omega$ kuvajoukkoa $\omega (D)$ kutsutaan pinnan $\omega$ kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

${ℝ}^n$:n pinnat

Euklidisen avaruuden ${ℝ}^n$ pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan $\omega :D\to {ℝ}^n$ kaavan jatkuvien funktioiden ${\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_n:D\to ℝ$ avulla siten, että pisteessä $(x,y)\in {ℝ}^2$ pinnan $\omega$ kaava

$\omega (x,y)=({\omega }_1(x,y),{\omega }_2(x,y),...,{\omega }_n(x,y))$.

Funktioita ${\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_n$ kutsutaan pinnan $\omega$ koordinaattifunktioiksi.

Oletetaan, että $\omega :D\to {ℝ}^n$ on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden ${\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_n$ osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan $\omega$ osittaisderivaatat pisteessä $(x,y)\in D$ ovat funktiot ${\partial }_1\omega ,{\partial }_2\omega :D\to {ℝ}^n$,

${\partial }_1\omega (x,y)=({\partial }_1{\omega }_1(x,y),{\partial }_1{\omega }_2(x,y),...,{\partial }_1{\omega }_n(x,y))$

${\partial }_2\omega (x,y)=({\partial }_2{\omega }_1(x,y),{\partial }_2{\omega }_2(x,y),...,{\partial }_2{\omega }_n(x,y))$.

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan $\omega$ derivaatan. Pinnan $\omega$ derivaattafunktio on funktio ${\omega }^{\prime }:D\to \{M:M\text{ on }n\times 2-\text{matriisi}\}$,

${\omega }^{\prime }(x,y)=\left[\begin{array}{cc}{\partial }_1{\omega }_1(x,y)& {\partial }_2{\omega }_1(x,y)\\ {\partial }_1{\omega }_2(x,y)& {\partial }_2{\omega }_2(x,y)\\ ⋮& ⋮\\ {\partial }_1{\omega }_n(x,y)& {\partial }_2{\omega }_n(x,y)\end{array}\right]$.

Derivaattafunktion kaavaa ${\omega }^{\prime }(x,y)$ kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä $(x,y)$. Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos $(x_0,y_0)\in D$, niin lineaarinen funktio $T:D\to {ℝ}^n$,

$T(x,y)=\omega (x_0,y_0)+{\omega }^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0)$,

on likimääräisesti sama kuin itse pinta $\omega$ pisteen $(x_0,y_0)$ läheisyydessä. Funktiota $T$ kutsutaan pinnan $\omega$ tangenttitasoksi pisteessä $(x_0,y_0)$.

${ℝ}^3$:n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite