Nollanjakaja

Renkaan R alkiota a kutsutaan vasemmanpuoleiseksi nollanjakajaksi, jos R:ssä on nollasta poikkeava x siten, että ax = 0. Vastaavasti renkaan alkiota a kutsutaan oikeaksi nollan jakajaksi, jos R :ssä on nollasta poikkeava y, jolla ya = 0 .

Nollanjakaja on alkio, joka on vasen tai oikea nollan jakaja. Kaksipuolinen nollanjakaja on alkio, joka on sekä vasen että oikea nollan jakaja (nollasta poikkeava x, jolla ax = 0 voi olla eri kuin nollasta poikkeava y, jolla ya = 0).

Jos rengas on kommutoiva, niin vasemmat ja oikeat nollanjakaja ovat samat.

Kommutatiivinen rengas R on kokonaisalue, jos 0 on sen ainoa nollanjakaja mutta $R\ne \{0\}$.

Esimerkkejä

• Renkaassa $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, jakojäännösluokka $\bar{2}$ on nollajakaja, koska $\bar{2}\times \bar{2}=\bar{4}=\bar{0}$ .
• Kokonaislukujen renkaan $\mathbb{Z}$ ainoa nollanjakaja on $0$.
• Nollasta poikkeavan renkaan nilpotentti elementti on aina kaksipuolinen nollanjakaja.
• Renkaan idempotentti alkio $e\ne 1$ on aina kaksipuolinen nollanjakaja, koska $e(1-e)=0=(1-e)e$ .
• n × n-neliömatriisien rengas jonkin kunnan yli omaa nollasta poikkeavia nollanjakajia, jos n ≥ 2. Esimerkkejä nollan jakajista 2×2-matriiseilla (millä tahansa nollasta poikkeavalla renkaalla) näytetään tässä:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$$ $$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Yksipuolinen nollajakaja

• Käsitellään rengasta (muodollisista) matriiseista$\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)$ missä $x,z\in \mathbb{Z}$ ja $y\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Tällöin $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xa& xb+yc\\ 0& zc\end{array}\right)$ ja $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xa& ya+zb\\ 0& zc\end{array}\right)$. Jos $x\ne 0\ne z$, niin $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)$ on vasen nollanjakaja jos ja vain jos $x$ on parillinen, koska $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& x\\ 0& 0\end{array}\right)$, ja se on oikea nollanjakaja jos ja vain jos $z$ is parillinen (vastaavista syistä). Jos $x$ tai $z$ on $0$, se on kaksipuolinen nollanjakaja.

Ominaisuuksia

• Tarkastellaan n × n matriisia jonkin kunnan yli. Tällöin vasemmat ja oikeat nollanjakajat ovat samat ja ne ovat sama joukko kuin singulaarimatriisit. n × n-matriisien renkaassa kokonaisideaalialueen yli nollanjakajat täsmälleen ne matriisit, joiden determinantti nolla.
• Vasen tai oikea nollan jakaja ei voi koskaan olla yksikköä, koska jos a on käännettävä ja ax = 0 jollekin nollasta poikkeavalle x lle, niin $0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x$, mikä on ristiriita.
• Jos a ei ole vasen nollanjakaja, niin ax = ay tarkoittaa, että x = y.
• Jos b ei ole oikea nollanjakaja, niin xb = yb tarkoittaa, että x = y.

Modulin nollanjakaja

Olkoon R kommutatiivinen rengas, olkoon M R-moduuli ja a R:n alkio. Sanotaan, että a on M -säännöllinen, jos "kertominen a:lla" eli $M\stackrel{a}{\to }M$ on injektiivinen, muutoin sanotaan, että a on M:n nollajakaja.

Tämän sivun alussa annettu määritelmä on tuon määritelmän rajoittuma tapaukseen M=R.

Aiheesta muualla

• Zero divisor, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Zero Divisor. MathWorld.