Nilpotentti

Matematiikassa renkaan R alkiota x kutsutaan nilpotentiksi, jos on olemassa joku positiivinen kokonaisluku n siten, että xⁿ = 0.

Amerikkalainen matemaatikko Benjamin Peirce otti termin käyttöön algebran alkiosta, jokin katoaa kun se korotetaan tiettyyn potenssiin.Malline:Selvennä

Esimerkkejä

• Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

on nilpotentti, koska A³ = 0. Katso lisää: nilpotentti matriisi.

• Tekijärenkaassa Z/9Z 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 3² on kongruentti 0 modulo 9.
• Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat ab = 0. Tällöin alkio c = ba on nilpotentti (jos ei nolla), kun c² = (ba)² = b(ab)a = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$

Tässä AB = 0, BA = B.

• Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion

Ominaisuudet

Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.

n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on tⁿ.

Jos x on nilpotentti, niin silloin alkiolla 1 - x on olemassa käänteisalkio $(1-x{)}^{-1}$, koska xⁿ = 0 edellyttää, että

$(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})=1-x^n=1$

Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan yksikköalkio, kun ne kommutoivat.

Vaihdannainen rengas

Vaihdannaisen renkaan $R$ nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin $𝔑$; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali $𝔑$ kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio $x$ kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin $𝔭$, koska $x^n=0\in 𝔭$. Joten $𝔑$ sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.

Jos $x$ ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida $x$:t potenssien mukaan: $x$: $S=\{1,x,x^2,...\}$ saadaan nollasta poikkeava rengas $S^{-1}R$. Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne $𝔭$, jotka toteuttaa $𝔭\cap S=\mathrm{\varnothing }$. Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos $x$ ei ole nilpotentti niin $x$ ei kuulu $𝔭$, jollakin $R$:n alkuideaalilla $𝔭$. Siksi $𝔑$ on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite