Kommutoiva rengas

Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat. Jos $R$ on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku ($+$) ja kertolasku ($\cdot$), niin $R$ on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille $a,b\in R$ pätee $a\cdot b=b\cdot a$.

Esimerkkejä kommutoivista renkaista

• Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
• Jäännösluokkarengas $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\oplus ,\odot )$ on kommutoiva kaikilla $n\in \mathbb{N},n>1$, sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään ${\bar{a}}_n\odot {\bar{b}}_n={\overline{(ab)}}_n$, missä $a,b\in \mathbb{Z}$. Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös ${\bar{a}}_n\odot {\bar{b}}_n={\bar{b}}_n\odot {\bar{a}}_n$.

Esimerkkejä ei-kommutoivista renkaista

• Reaalisten $2\times 2$-matriisien rengas $({ℳ}_{2\times 2}(ℝ),+,\cdot )$ ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ ja $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]$.

Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!

Suhde kokonaisalueeseen ja kuntaan

Olkoon $(R,+,\cdot )$ kommutoiva rengas. Merkitään renkaan $R$ yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio) $0_R$:llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio) $1_R$:llä. Tällöin

1. Jos kaikilla $a,b\in R$ ehdosta $a\cdot b=0_R$ seuraa, että $a=0_R$ tai $b=0_R$, niin $R$ on kokonaisalue.
2. Jos kaikilla $a\ne 0_R$ yhtälöllä $a\cdot x=1_R$ on ratkaisu $x\in R$, niin $R$ on kunta.

Jos $R$ on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim. $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ on kokonaisalue, muttei kunta).

Katso myös

• Ryhmä (algebra)
• Abelin ryhmä
• Kommutaattori (matematiikka)

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite