Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan ei-negatiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on aina vähintään yhtä suuri kuin niiden geometrinen keskiarvo. Muodollisesti, jos pätee $x_1,x_2,\cdots ,x_n\ge 0$, niin on voimassa

$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\ge \sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$.

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos $x_1=x_2=\cdots =x_n$.

Jos lukujen $x_i$ oletetaan kaikkien olevan positiivisia ja sovelletaan aritmeettis-geometrista epäyhtälöä lukuihin $1/x_1,1/x_2,\cdots ,1/x_n$, saadaan geometris-harmoninen epäyhtälö

$\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}\ge \frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$.

Tässä epäyhtälön oikealla puolella oleva lauseke on nimeltään harmoninen keskiarvo.

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö yleistää hieman aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sen mukaan, jos $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja ja ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja, joiden summa on yksi, on

${\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\dots +{\lambda }_n{a}_n\ge a_1^{{\lambda }_1}{a}_2^{{\lambda }_2}\cdots a_n^{{\lambda }_n},$

eli

$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i\ge \prod _{i=1}^n{a}_i^{{\lambda }_i}.$

Sovelluksia

Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön avulla voidaan todistaa vaikkapa eksponenttifunktion olevan äärellinen kaikilla reaaliluvuilla: Todistetaan ensin, että ${(1+\frac{x}{n})}^n\le e^x.$ Määritellään $a_n=(1+\frac{x}{n}{)}^n$, jolloin on riittävää osoittaa että $a_n$ on kasvava kun $n>|x|$. Tämä seuraa, kun valitaan aritmeettis-geometrisessa epäyhtälössä n kappaletta lukuja $1+\frac{x}{n}$ ja kerran $1$. Toisaalta epäyhtälö $e^x\le {(1-\frac{x}{n})}^{-n}$ seuraa edellisestä, kun epäyhtälössä kirjoitetaan $x$:n paikalle $-x$.

Yleistyksiä

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Olkoot epänegatiiviset luvut $x_1,\dots ,x_n$ ja epänegatiiviset painot $w_1\dots ,w_n$ annettu. Asetetaan $w=\sum _{i=1}^n{w}_i$. Jos $w>0$, on voimassa

$\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_n{x}_n}{w}\ge \sqrt[w]{x_1^{w_1}{x}_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}}$

ja yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos kaikki $x_k$, joilla $w_k>0$, ovat yhtäsuuria. Tässä on oletettu, että $0^0=1$.

Jos kaikki $w_k=1$, epäyhtälö palautuu tavalliseksi aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi.

Muita aritmeettis-geometrisen epäyhtälön yleistyksiä ovat Muirheadin epäyhtälö, Maclaurinin epäyhtälö sekä potenssikeskiarvoepäyhtälö. Malline:Tynkä/Matematiikka