Jensenin epäyhtälö

Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko Johan Jensenin mukaan, voidaan arvioida konveksin funktion integraaleja.

Äärellinen muoto

Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle φ ja positiivisille painokertoimille a_i on voimassa

$\phi \left(\frac{\sum a_i{x}_i}{\sum a_i}\right)\le \frac{\sum a_i\phi (x_i)}{\sum a_i}$

Epäyhtälö on käännettävä jos φ on konkaavi.

Jos a_i=1, on

$\phi \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)\le \frac{\sum \phi (x_i)}{n}$

Funktio log(x) on konkaavi, joten sijoittamalla φ(x) = log(x) saadaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö:

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}.$

Yleinen väittämä

Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä muodossa mittateorian avulla. Se voidaan ilmaista myös todennäköisyysteorian avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.

Mittateoreettinen muotoilu

Olkoon (Ω,A,μ) mitta-avaruus siten, että μ(Ω) = 1. Jos g on reaaliarvoinen μ-integroituva ja jos φ on konveksi joukossa g, on voimassa

$\phi \left(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }gd\mu \right)\le \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\phi \circ gd\mu .$

Todennäköisyysteoreettinen muotoilu

Todennäköisyysteorian terminologialla μ on todennäköisyysmitta. Funktio g korvataan reaaliarvoisella satunnaismuuttujalla X. Tällöin jokainen integraali Ω:ssa todennäköisyysmitan μ suhteen voidaan tulkita odotusarvoksi. Tällöin, jos φ on konveksi funktio, on

$\phi (𝔼\{X\})\le 𝔼\{\phi (X)\}.$

Todistus

Olkoon g μ-integroituva funktio mitta-avaruudessa Ω ja olkoon φ konveksi funktio g:n määrittelyjoukossa. Määritellään φ:n oikeanpuoleinen derivaatta x:ssä asettamalla

${\phi }^{\prime }(x):=\underset{t\to 0^{-}}{\lim }\frac{\phi (x+t)-\phi (x)}{t}$

Koska φ on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun t lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa

$\frac{\phi (x+t)-\phi (x)}{t},$

missä t < 0. Siten raja-arvo on aina olemassa.

Asetetaan nyt seuraavat merkinnät:

$x_0:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }gd\mu ,$

$a:={\phi }^{\prime }(x_0),$

$b:=\phi (x_0)-x_0{\phi }^{\prime }(x_0).$

Tällöin kaikilla x on voimassa $ax+b\le \phi (x)$. Tämä nähdään siitä, että jos x>x₀ ja t = x − x₀ > 0, on voimassa

${\phi }^{\prime }(x_0)\le \frac{\phi (x_0+t)-\phi (x_0)}{t}.$

Siten

${\phi }^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\phi (x_0)\le \phi (x)$

kuten vaadittiin. Tapaus x < x₀ todistetaan vastaavasti, kuten myös tapaus $a{x}_0+b=\phi (x_0)$.

φ(x₀) voidaan siten kirjoittaa muodossa

$a{x}_0+b=a\left(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }gd\mu \right)+b.$

Mutta koska μ(Ω) = 1, on kaikilla reaaliluvuilla k voimassa

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }kd\mu =k.$

Erityisesti

$a\left(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }gd\mu \right)+b=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(ag+b)d\mu \le \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\phi \circ gd\mu .$

Q.E.D.

Lähteet

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis
• David Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics

Aiheesta muualla

• Jensenin epäyhtälö MathWorldissä
• Jensenin epäyhtälö on Kööpenhaminan yliopiston matematiikan laitoksen logossa.