Tangentiaalinen nelikulmio

Tangentiaalinen nelikulmio eli ympyrän ympäri piirretty nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi.^[1]^[2]

Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista Malline:K-en.^[1]

Ominaisuuksia

Jos merkitään puolipiiriä eli nelikulmion piirin puolikasta $s = \frac{1}{2} (a + b + c + d),$ missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa $s = a + c = b + d,$ eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä.^[1]^[2] Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan.^[3]
Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. Kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä.^[3]
Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi $\tan \frac{α}{2} \cdot \tan \frac{γ}{2} = 1$ ja $\tan \frac{β}{2} \cdot \tan \frac{δ}{2} = 1 .$ ^[2]
Lävistäjien eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen.^[3]
Tällaisen nelikulmion pinta-ala on $A = r s,$ ^[1] missä $r$ on sisäympyrän säde.
Sisäympyrän säde voidaan johtaa alan, piirinpuolikkaan ja Bretschneiderin lauseen avulla

r = \frac{\sqrt{4 p^{2} q^{2} - (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2}}}{2 (a + b + c + d)} = \frac{\sqrt{p^{2} q^{2} - (a - b)^{2} (a + b - s)^{2}}}{2 s}

^[1]

= \sqrt{\frac{b c d + a c d + a b d + a b c}{a + b + c + d}}

^[2]

missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

Erikoistapauksia

Neliö

Neliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde r on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös apoteemaksi kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde R on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on a, saadaan

r = \frac{1}{2} a

^[4] sekä

R = \frac{\sqrt{2}}{2} a .

Neljäkäs

Neljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli $β = 9 0^{\circ} - α$ . Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten $α = 2 γ$ eli $γ = \frac{1}{2} α$ .

Jos päätetään aluksi kulma $γ = \frac{1}{2} α$ , voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = t_A ja JB = t_B, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun

a = t_{A} + t_{B}

.^[5]

Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista

t_{A} = r \cot γ

(kolmiosta

Δ A J O

) ^[6]

ja

t_{B} = r \tan γ

(kolmiosta

Δ O J B

).^[6]

Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta

a = t_{A} + t_{B} = r \cot γ + r \tan γ = r (\cot γ + \tan γ)

eli

r = \frac{a}{\cot γ + \tan γ}

.

Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään sisäympyrän generoivan polynomin kertoimet ovat ^[7]

S_{1}^{4} = t_{A} + t_{B} + t_{C} + t_{D} = 2 t_{A} + 2 t_{B} = 2 (t_{A} + t_{B})

,

koska t_A = t_C ja t_B = t_D, ja vielä

S_{3}^{4} = t_{A} t_{B} t_{C} + t_{B} t_{C} t_{D} + t_{C} t_{D} t_{A} + t_{D} t_{A} t_{B} = 2 (t_{A}^{2} t_{B} + t_{A} t_{B}^{2}) = 2 t_{A} t_{B} (t_{A} + t_{B})

.

Polynomi saa muodon

S_{1}^{4} r^{2} - S_{3}^{4} = 0

^[8] eli

2 (t_{A} + t_{B}) r^{2} - 2 t_{A} t_{B} (t_{A} + t_{B}) = 0

jonka positiivinen juuri on

r = \sqrt{\frac{2 t_{A} t_{B} (t_{A} + t_{B})}{2 (t_{A} + t_{B})}} = \sqrt{t_{A} t_{B}}

.

Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun $t_{A} = t_{B} = \frac{1}{2} a$ .

Katso myös

Syklinen nelikulmio, jossa ympyrä on piirretty nelikulmion ulkopuolelle.
Bisentrinen nelikulmio, joka on samalla syklinen- ja tangentiaalinen nelikulmio.
Säännöllinen monikulmio, jossa ympyrät ovat merkittävässä roolissa.

Lähteet

Malline:Lehtiviite

Viitteet

Malline:Viitteet

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä TangentialQuadrilateral ei löytynyt
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä hajja ei löytynyt
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä titu64 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä maolk ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic198_1 ei löytynyt
↑ ^6,0 ^6,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic198_3 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic200 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic201 ei löytynyt

[TangentialQuadrilateral-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä TangentialQuadrilateral ei löytynyt

[hajja-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä hajja ei löytynyt

[titu64-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä titu64 ei löytynyt

[maolk-4] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä maolk ei löytynyt

[Radic198_1-5] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic198_1 ei löytynyt

[Radic198_3-6] 6,0 ^6,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic198_3 ei löytynyt

[Radic200-7] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic200 ei löytynyt

[Radic201-8] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic201 ei löytynyt

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Tangentiaalinen nelikulmio

Sisällys

Ominaisuuksia