Bisentrinen nelikulmio

Bisentrinen nelikulmion ehdot: vastakkaisten kulmien summa on 180 astetta, vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolipiiri.

Nelikulmion lävistäjät leikkaavat pisteessä, jossa leikkaavat myös sivuamispisteitä yhdistävät janat, nämä vielä kohtaavat kohtisuorasti.

Bisentristä nelikulmioita on samoin sijoitettujen ja samojen ympyröiden välissä ääretön määrä.

Bisentrinen nelikulmion sisäympyrän keskuksen ja ulkoympyrän keskuksen välinen etäisyys w.

Bisentrinen nelikulmio on geometriassa konveksi nelikulmio, joka on samalla sekä syklinen nelikulmio että tangentiaalinen nelikulmio. Nelikulmio on syklinen, jos sen kärjet sijaitsevat ympäri piirretyllä ympyrän kehällä, ja tangentiaalinen, jos sen kaikki sivut sivuavat sisälle piirrettyä ympyrää.

Kaikki nelikulmiot eivät ole tällaisia. Riittävä ehto, jotta konveksi nelikulmio on bisentrinen nelikulmio, on yhtä aikaa sekä

$s=a+c=b+d$

eli vastaisten sivujen summat ovat yhtäsuuret ja arvoltaan $s=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$ eli puolipiiri, että

$\measuredangle \alpha +\measuredangle \gamma =\measuredangle \beta +\measuredangle \delta =180^{\circ }$

eli vastaisten kulmien summat ovat molemmat 180°.

Erityispiirteitä

Bisentrinen nelikulmio perii syklisen nelikulmion ja tangentiaalisen nelikulmion kaikki ominaisuudet. Sen lisäksi sen ominaisuuksia ovat:

• vastakkaisia tangenttien sivuamispisteitä yhdistävät jänteet eli tangentiaaliset jänteet u ja v ovat kohtisuoria ja ne leikkaavat pisteessä Z (katso viereistä kuviota).
• nelikulmion lävistäjät p ja q leikkaavat toisensa myös pisteessä Z.
• piste Z, sisäympyrän keskipiste I ja ulkoympyrän keksipiste O ovat kollineaarisia.
• vierekkäisiä tangenttien sivuamispisteitä yhdistävät jänteet muodostavat nelikulmion, jonka sivujen keskipisteet muodostavat suorakulmion.
• suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen I kautta, puolittaa sekä nelikulmion alan että piirin.
• jos on olemassa yksikin bisentrinen monikulmio (myös nelikulmio) kahden tietyn sisäkkäisen ympyrän välissä, on niitä vielä ääretön määrä lisää.

Ominaisuuksia

Sisäympyrän säde r on

$r=\frac{\sqrt{abcd}}{s}=\frac{A}{s}=\frac{A}{a+c}=\frac{A}{b+d}.$

Ulkoympyrän säde R on

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{abcd}}.$

Ulkoympyrän keskipisteen O ja sisäympyrän keskipisteen I välimatka w toteuttaa yhtälön

$\frac{1}{(R-w{)}^2}+\frac{1}{(R+w{)}^2}=\frac{1}{r^2}.$

Pinta-ala voidaan johtaa syklisen nelikulmion pinta-alan kaavasta (Brahmagupta)

$A_{sykl}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

huomioimalla ehto $a+c=b+d=s,$ jolloin saadaan

$A_{bi}=\sqrt{abcd},$

tai kun käytetään lävistäjiä edelliseen tapaan

$A_{bi}=\frac{uvpq}{u^2+v^2}.$

Vaikka nelikulmion muodon vaihdellessa sen alan suuruuskin muuttuu, voidaan alan arvo rajata epäyhtälöllä

$4r^2\le A_{bi}\le 2R^2$

Historia

Ensimmäinen, joka tutki bisentrisiä nelikulmioita, oli saksalainen matemaatikko Nikolaus Fuss (1755−1825). Hän löysi ensimmäisenä ehdon sisä- ja ulkoympyrän keskipisteiden väliselle etäisyydelle w. Tätä pidettiin aikanaa yhtenä 100:sta vaikeimmasta matemaattisesta ongelmasta. Myös ranskalainen matemaatikko Jean-Victor Poncelet (1788−1867) keksi mielenkiintoisen yleistyksen. Jos on olemassa yksikin monikulmio, joka on annetuille sisäkkäisille ympyröille bisentrinen, on näille samoille ympyröille niitä vielä ääretön määrä lisää.

Aiheesta muualla

• Konstruktio: Miten piirretään bisentrinen nelikulmio ympyröiden väliin? Malline:Wayback, s. 162
• Cut-The-Knot:Area of a Bicentric Quadrilateral
• Cut-The-Knot:Easy Construction of Bicentric Quadrilateral: What Is This About? A Mathematical Droodle
• GoGeometry: Geometry Problem 908