Ristikorrelaatio

Ristikorrelaatio eli liukuva pistetulo on signaalinkäsittelyssä käytetty mittari, joka kertoo kahden aaltomuodon samankaltaisuuden, kun toista on siirretty ajan $\tau$ verran. Usein ristikorrelaation avulla etsitään lyhyttä signaalia f pidemmästä signaalista g.

Sanan ristikorrelaatio vaihtoehtoinen merkitys (tilastotieteessä) on kahden satunnaismuuttujan X ja Y kovarianssi cov(X, Y) erotuksena yhden satunnaismuuttujan X "kovarianssista", jolla tarkoitetaan muuttujan X skalaarikomponenttien kovarianssimatriisia.

Jatkuville funktioille f ja g alussa mainittu ristikorrelaatio määritellään:

$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{*}(\tau )g(t+\tau )d\tau ,$

missä f * tarkoittaa funktion f kompleksikonjugaattia.

Vastaavasti diskreeteille funktioille ristikorrelaatio määritellään:

$(f\star g)[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}^{*}[m]g[n+m].$

Ristikorrelaatio siis eroaa konvoluutiosta siten, että konvoluutiossa funktio g peilataan (käännetään) ajallisesti (termin n+m tilalla n-m) ja funktiota f ei konjugoida. Joskus ristikorrelaatio normalisoidaan.

Funktion ristikorrelaatiossa itsensä kanssa huippu saavutetaan aina muuttujan arvolla nolla (aito huippu, ellei kyseessä ole nollasignaali).

Selitys

Jos funktio f on sama kuin funktio g mutta siirrettynä, näiden ristikorrelaation maksimikohta kertoo, kuinka suuri siirto oli. Muutenkin ristikorrelaation reaaliosan maksimikohta kertoo, mikä kohta g:stä on pisimmällä f:n suunnassa.

Normalisoitu ristikorrelaatio

Kuvankäsittelysovelluksissa, joissa kuvan ja etsityn mallin kirkkaus vaihtelevat, kuvat normalisoidaan ennen ristikorrelaation laskemista.

Kun kuvasta $f(x,y)$ etsitään mallia $t(x,y)$, tämä tehdään seuraavasti:

$\frac{1}{n-1}\sum _{x,y}\frac{(f(x,y)-\bar{f})(t(x,y)-\bar{t})}{{\sigma }_f{\sigma }_t}$.

missä $n$ on pikselien lukumäärä, $\bar{f}$ signaalin f keskiarvo ja ${\sigma }_f$ keskihajonta (jakajan n-1 selitys on samanlainen kuin keskihajonnan määritelmässä). Jos merkitään

$F(x,y)=f(x,y)-\bar{f}$

ja

$T(x,y)=t(x,y)-\bar{t}$

niin normalisoitu ristikorrelaatio voidaan kirjoittaa muotoon

$⟨\frac{F}{\Vert F\Vert },\frac{T}{\Vert T\Vert }⟩$

missä $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ on sisätulo ja $\Vert \cdot \Vert$ on L²-normi. Kyseessä on siis normalisoitujen vektoreiden välinen pistetulo eli vektorien F ja T välisen kulman kosini, joka on siis välillä -1...1, mikäli F ja T ovat reaalisia matriiseja. Jos arvo on 1, matriisi T on sama kuin matriisi F kerrottuna positiivisella vakiolla.