Konvoluutio

Tiedosto:Konvoluutio.png

Kahden aikasarjan konvoluutio.

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion $f$ ja $g$ välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion $f*g$. Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Konvoluutio voidaan kuvata kahden signaalin yhteisenä pinta-alana siirroksen funktiona, kun jälkimmäinen signaali ensin käännetään y-akselin suhteen ja tämän jälkeen liikutetaan sitä x-akselilla positiiviseen suuntaan.

Määritelmä

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

$(f*g)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

$(f*g)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau .$

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

$(f*g)(n)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(k)g(n-k)$.

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

$(f*g)(n)=\sum _{k|n,k>0}f(k)g(n/k).$

Konvoluution ominaisuuksia

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

• Assosiatiivisuus

$(h*f)*g=h*(f*g)$

• Distributiivisuus

$h*(f+g)=h*f+h*g$

• Kommutatiivisuus

$f*g=g*f$

• Skalaarimonikerta

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag),a\in ℝ$

• Konvoluution derivaatta

$D(f*g)=Df*g=f*Dg$

Konvoluutioteoreema

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

$ℱ\{f(x)*g(x)\}=F(\omega )G(\omega )$,

missä $F(\omega )$ ja $G(\omega )$ ovat funktioiden $f(x)$ ja $g(x)$ Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite