Konvoluutio

Tiedosto:Konvoluutio.png

Kahden aikasarjan konvoluutio.

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion $f$ ja $g$ välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion $f\ast g$. Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Konvoluutio voidaan kuvata kahden signaalin yhteisenä pinta-alana siirroksen funktiona, kun jälkimmäinen signaali ensin käännetään y-akselin suhteen ja tämän jälkeen liikutetaan sitä x-akselilla positiiviseen suuntaan.

Määritelmä

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

$(f\ast g)(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

$(f\ast g)(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau .$

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

$(f\ast g)(n)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(k)g(n-k)$.

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

$(f\ast g)(n)=\sum _{k|n,k>0}f(k)g(n/k).$

Konvoluution ominaisuuksia

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

• Assosiatiivisuus

$(h\ast f)\ast g=h\ast (f\ast g)$

• Distributiivisuus

$h\ast (f+g)=h\ast f+h\ast g$

• Kommutatiivisuus

$f\ast g=g\ast f$

• Skalaarimonikerta

$a(f\ast g)=(af)\ast g=f\ast (ag),a\in ℝ$

• Konvoluution derivaatta

$D(f\ast g)=Df\ast g=f\ast Dg$

Konvoluutioteoreema

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

$ℱ\{f(x)\ast g(x)\}=F(\omega )G(\omega )$,

missä $F(\omega )$ ja $G(\omega )$ ovat funktioiden $f(x)$ ja $g(x)$ Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite