Lp-avaruus

Matematiikassa L^p-avaruudet ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä.

L^p-avaruuksia kutsutaan myös Lebesgue-avaruuksiksi Henri Lebesguen mukaan , joskin Bourbakin mukaan ne esitteli ensimmäisenä Riesz.

L^p-avaruudet ovat tärkeitä Banach-avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla.

Motivaatio

Eri p-normien yksikköympyröiden kuvaajia (eli pisteet, joihin origista piirretyn vektorin p-normi on 1').

Yksikköympyrä (superellipsi) p = 3/2 -normilla

Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset L^p-avaruudet eli L^p-normit reaaliselle vektoriavaruudelle Rⁿ. Kahden vektorin summa avaruudessa Rⁿ määritellään

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)+(y_1,y_2,\dots ,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n),$

ja skalaarilla (eli reaaliluvulla) $\lambda$ kertominen

$\lambda (x_1,x_2,\dots ,x_n)=(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots ,\lambda x_n).$

Vektorin x = (x₁, x₂, …, x_n) pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla

$\Vert x{\Vert }_2={(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)}^{1/2},$

mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin x pituus. Jos p on reaaliluku, p ≥ 1, niin vektorin x L^p-normi määritellään

$\Vert x{\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)}^{1/p}$.

Näin ollen L² on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys L¹ on koordinaattien erojen summa).

Tämä on tapana laajentaa arvolle p = ∞ määrittelemällä

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max \{|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|\}$,

mikä on sama kuin raja-arvo L^p-normista, kun p lähestyy ääretöntä.

Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla p ≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot.

Millä tahansa arvolla p ≥ 1 avaruus Rⁿ varustettuna L^p-normilla (eli p-normilla) on Banach-avaruus.

Kun 0 < p < 1

Astroidi eli yksikköympyrä p = 2/3 -metriikassa

Avaruudessa Rⁿ, kun n > 1, kaava

$\Vert x{\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)}^{1/p}$

ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio

$d_p(x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p$

määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (Rⁿ, d_p) käytetään merkintää ℓ_n^p. Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi.

ℓ^p-avaruudet Malline:Anchor

Malline:Pääartikkeli

Tämä p-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä ℓ^p. Tämän erikoistapauksia ovat:

• ℓ¹, niiden absoluuttisesti summautuvien jonojen avaruus eli niiden jonojen, joiden muodostama sarja on absoluuttisesti konvergoiva,
• ℓ², neliösummautuvien jonojen avaruus, tärkeä Hilbert-avaruus, ja
• ℓ^∞, rajoitettujen jonojen avaruus.

Tämä p-normi määritellään

$\Vert x{\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p+|x_{n+1}{|}^p+\cdots )}^{1/p}.$

Jos normi on ääretön, x ei kuulu avaruuteen ℓ^p.

Vastaavasti ∞-normi määritellään

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup (|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|,|x_{n+1}|,\dots ).$

Voidaan todistaa, että

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x{\Vert }_p$,

jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön. Kaikki nämä ℓ^p-avaruudet ovat Banach-avaruuksia.

Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit x ovatkin funktioita f ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus.

L^p-avaruudet

Olkoon 1 ≤ p < ∞ ja olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus. ${ℒ}^p(S,\mu )$-avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin L^p-avaruus) on kaikkien niiden mitallisten funktioiden S$\to$C (tai S$\to$R) joukko, joiden itseisarvon p:nnen potenssin integraali on äärellinen eli

$\Vert f{\Vert }_p:={\left(\underset{S}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{1/p}<\mathrm{\infty }.$

Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\text{ja}(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$

kaikilla skalaareilla λ.

Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille || . ||_p. Niinpä tämä avaruus ${ℒ}^p(S,\mu )$ on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus $L^p(S,\mu )$ samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis $L^p(S,\mu )$ on

$L^p(S,\mu ):={ℒ}^p(S,\mu )/N,$

missä

$N:=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\Vert \cdot {\Vert }_p)=\{f:f=0\mu \text{- melkein kaikkialla}\}.$

Avaruus L^∞(S, μ) määritellään vastaavasti essential supremum -normilla

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\inf \{C\ge 0:|f(x)|\le C\text{ melkein kaikilla }x\}.$

Jälleen

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f{\Vert }_p,$

jos f ∈ L^∞(S, μ) ∩ L^q(S, μ) jollain q < ∞.

Arvoilla 1 ≤ p ≤ ∞ avaruus L^p(S, μ) on Banach-avaruus. Rieszin-Fischerin lause sanoo, että se on täydellinen.

Usein avaruuden nimi lyhennetään L^p(μ) tai L^p.

Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner-avaruuksille eli sellaisten funktioiden L^p-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty.

Erikoistapauksia

Kuten ℓ²-avaruus, myös avaruus L² on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille L²-sisätulo määritellään

$⟨f,g⟩=\underset{S}{\int }f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}\mu (x).$

Kompleksitapauksessa L^∞ on kommutatiivinen C*-algebra.

ℓ^p-avaruudet (1 ≤ p ≤ ∞) ovat erikoistapaus L^p-avaruuksista, jossa joukko S on positiivisten kokonaislukujen joukko N ja mitta μ on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle S avaruutta L ^p lukumäärämitalla merkitään ℓ^p(S).

Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ²(V) kanssa, missä V on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko.

Lähteet

• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite journal
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Verkkoviite