Pääideaalialue

Matematiikassa pääideaalialue eli PID on integraalialue (eli kommutiivinen rengas, jossa $0\ne 1$ ja jossa $ab=0\Rightarrow a=0\vee b=0$), jossa jokainen ideaali on pääideaali eli joukko $Ra=\{ra:r\in R\}$ jollain $a\in R$.

Pääideaalialueet käyttäytyvät kuten kokonaisluvut jaollisuuden suhteen: millä tahansa PID:n alkiolla on yksikäsitteinen faktorointi (joten aritmeettisen peruslauseen analogia pätee); millä tahansa kahdella PID:n elementillä on suurin yhteinen jakaja (vaikka sitä ei ehkä ole mahdollista löytää käyttämällä Eukleideen algoritmia). Jos x ja y ovat PID:n elementtejä ilman yhteisiä jakajia, niin jokainen PID:n alkio voidaan kirjoittaa muodossa ax + by, jne.

Pääideaalialueet ovat Noetherin renkaita.

Esimerkkejä

• $K$ : mikä tahansa kunta ,
• $\mathbb{Z}$ : kokonaislukujen rengas
• $K[x]$ : yhden muuttujan polynomien renkaat, kun kertoimet otetaan jostakin kunnasta. (Käänteinenkin on totta, eli jos $A[x]$ on pääideaalialue, niin $A$ on kunta.) Lisäksi yhden muuttujan muodollisten potenssisarjojen rengas on pääideaalialue, kun kertoimet otetaan jostain kunnasta, koska jokainen ideaali on muotoa $(x^k)$ ,
• $\mathbb{Z}[i]$ eli Gaussin kokonaislukujen rengas

Ei-esimerkkejä

• $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ on rengas muttei pääideaalialue, koska $4=2\cdot 2=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}).$ Lisäksi $⟨2,1+\sqrt{-3}⟩$ on ideaali, jota mikään yksi alkio ei generoi.
• $\mathbb{Z}[x]$ : kaikkien polynomien rengas kokonaislukukertoimilla. Se ei ole pääideaalialue, koska $⟨2,x⟩$ on ideaali, jota mikään yksi alkio ei generoi.
• $R[x,y,\dots ],$ n muuttujan polynomien rengas, missä $n\ge 2$, kun kerroinrengas R ei ole pääideaalialue, koska ideaali $⟨x,y⟩$ ei ole pääideaali.
• Useimmat algebrallisten kokonaislukujen renkaat eivät ole pääideaalialueita.

Ominaisuuksia

Pääideaalialueella millä tahansa kahdella alkiolla a, b on suurin yhteinen jakaja, joka voidaan saada ideaalin (a, b ) generaattorina (virittäjänä).

Esimerkki pääasiallisesta ideaalista, joka ei ole euklidinen alue, on rengas $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]$, tämän todisti Theodore Motzkin ja se oli ensimmäinen tunnettu tapaus. Tällä alueella ei ole q ja r :tä, 0 ≤ |r | <4, niin $(1+\sqrt{-19})=(4)q+r$, huolimatta $1+\sqrt{-19}$ ja $4$ joilla on suurin yhteinen jakaja 2 .

Katso myös

• Bézoutin identiteetti