Pääideaali

Matematiikassa renkaan $R$ pääideaali tarkoittaa yhden $R$:n alkion virittämää ideaalia.

Jos $R$ on kommutatiivinen, jokainen pääideaali on joukko $Ra=\{ra:r\in R\}$ jollain $a\in R$, eikä muita pääideaaleja ole.

(Termillä on myös toinen merkitys, posetissa $P$ pääideaali tarkoittaa yhden alkion virittämää järjestysideaalia eli sen alkion ja kaikkien sitä pienempien alkioiden joukkoa. Tässä artikkelissa ei tämän kappaleen ulkopuolella tarkoiteta sitä merkitystä.)

Määritelmät

• $R$:n vasen pääideaali on osajoukko $Ra=\{ra:r\in R\}$ jollekin elementille $a,$
• $R$:n oikea pääideaali on osajoukko $aR=\{ar:r\in R\}$ jollekin elementille $a,$
• $R$:n pääideaali eli kaksipuolinen pääideaali osajoukko $RaR=\{r_{1}a{s}_1+\dots +r_{n}a{s}_n:r_1,s_1,\dots ,r_n,s_n\in R\}$ jollekin elementille $a,$ eli kaikkien muotoa $ras$ olevien alkioiden summien joukko.

Jos $R$ on kommutatiivinen rengas (identiteetillä), niin yllä olevat kolme käsitettä ovat kaikki samoja. Siinä tapauksessa $a$:n virittämästä ideaalista käytetään merkintää $⟨a⟩$ tai $(a).$

Ei-kommutatiivisessa tapauksessa kaksipuolisen pääideaalin monimutkainen määritelmä johtuu halusta tehdä siitä suljettu yhteenlaskun suhteen.

Esimerkkejä ei-pääideaaleista

$ℂ[x,y]$ on kahden muuttujan $x$ ja $y$ kompleksikertoimisten polynomien rengas. Muuttujien $x$ ja $y$ virittämä ideaali $⟨x,y⟩$ koostuu kaikista polynomeista $ℂ[x,y]$ joiden vakiotermi on nolla. Se ei ole pääideaali. Todistus: oletetaan, että $p$ on sen virittäjä. Sitten $x$ ja $y$ olisivat molemmat jaettavissa $p$:llä, mikä on mahdotonta ellei $p$ on nollasta poikkeava vakio. Mutta nolla on ainoa vakio ideaalissa $⟨x,y⟩,$ mikä muodostaa ristiriidan.