Moreran lause

Malline:LähteetönKompleksianalyysissä Moreran lauseen mukaan alueessa D määritelty jatkuva kompleksiarvoisen funktion f integraali pitkin kaikkia umpinaisia paloittain säännöllisiä polkuja. Siis

$\underset{D}{\int }f(z)dz=0$

kaikilla D:n umpinaisilla paloittain säännöllisillä poluilla. Siten jos f on yksinkertainen suljettu käyrä, on f holomorfinen jokaisessa D:n pisteessä.

Todistus

$\underset{C}{\int }f(z)dz=0$

kaikilla umpinaisilla säännöllisillä poluilla C. Siten jokaiselle kahdelle yksinkertaiselle käyrälle γ₁ ja γ₂ D:n sisällä, joka alkaa pisteestä z₀ ∈ D ja loppuu pisteeseen z ∈ D, on voimassa

$\underset{{\gamma }_1}{\int }f(w)dw=\underset{{\gamma }_2}{\int }f(w)dw,$

joten

$F(z)=\underset{{\gamma }_1}{\int }f(w)dw=\underset{{\gamma }_2}{\int }f(w)dw$

on olemassa. Tämä on holomorfinen funktio ja

$f(z)=F^{\prime }(z)$

on myös holomorfinen.

Käyttö

Moreran lausetta voidaan käyttää osoittamaan summista tai integraaleista koostuvien funktioiden analyyttisyys. Esimerkkeinä tästä on Riemannin zeeta-funktio

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

ja Gammafunktio

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx.$

Moreran lause antaa myös nopean todistuksen sille, että jono f_n(z) analyyttisiä funktioita kompleksitason avoimessa joukossa D suppenee kohti funktiota f(z) tasaisesti jokaisessa kompaktissa osajoukossa K, on f analyyttinen. Ehto voidaan helposti rajoittamaan tapaukseen, missä K on suljettu kiekko.