Riemannin zeeta-funktio

Matematiikassa Riemannin zeeta-funktio on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta.

Määritelmä

Riemannin zeeta-funktio $\zeta (s)$ on määritelty kompleksiluvuille $s$, joiden reaaliosa $>1$, summaksi

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$.

Alueessa $\{s\in ℂ:\mathrm{R}\mathrm{e}s>1\}$ tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen. Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä $1$. Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa.

Integraaleja

Jos $s\in ℂ\setminus \{1\}$ pätevät kaavat

$\zeta (s)=\frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan t)}{(1+t^2{)}^{\frac{s}{2}}({\mathrm{e}}^{\pi t}+1)}\mathrm{d}t$

ja

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan t)}{(1+t^2{)}^{\frac{s}{2}}({\mathrm{e}}^{2\pi t}-1)}\mathrm{d}t.$

Jos $0<Re(s)<1$ on

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}\frac{\gamma x+\log \mathrm{\Gamma }(1+x)}{x^2}dx=\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\frac{\zeta (2-s)}{2-s}$.

Integraali zeetafunktion derivaatalle on

${\zeta }^{\prime }(s)=2^{s-1}(\frac{\log 2}{s-1}-\frac{1}{(s-1{)}^2}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\arctan t\cdot \cos (s\arctan t)+\log \frac{4}{1+t^2}\cdot \sin (s\arctan t)}{(1+t^2{)}^{\frac{s}{2}}\cdot (e^{\pi t}+1)}\mathrm{d}t)$

joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun s=1.

Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\zeta (k)x^{k-1}=-{\psi }_0(1-x)-\gamma$

missä ψ₀ on digammafunktio.

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (n)-1)=1$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (2n)-1)=\frac{3}{4}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (2n+1)-1)=\frac{1}{4}$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\zeta (n)-1)=\frac{1}{2}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{2^{2n}}=\frac{1}{6}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{4^{2n}}=\frac{13}{30}-\frac{\pi }{8}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{8^{2n}}=\frac{61}{126}-\frac{\pi }{16}(\sqrt{2}+1)$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (4n)-1)=\frac{7}{8}-\frac{\pi }{4}\left(\frac{e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}\right)$

$\log 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n}$

$\log \pi =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2(\frac{3}{2}{)}^n-3)(\zeta (n)-1)}{n}.$

Sarjoja Eulerin vakiolle:

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{\zeta (n)}{n}=\gamma$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (n)-1}{n}=1-\gamma$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{\zeta (n)-1}{n}=\ln 2+\gamma -1$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{\zeta (n)}{n{2}^{n-1}}=\gamma -\log \frac{4}{\pi }$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n+1)-1}{(2n+1)2^{2n}}=1+\log \frac{2}{3}-\gamma .$

Sarja Catalanin vakiolle:

$\frac{1}{16}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)\frac{3^n-1}{4^n}\zeta (n+2)=G.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{t}^{2n}[\zeta (2n)-1]=\frac{t^2}{1+t^2}+\frac{1-\pi t}{2}-\frac{\pi t}{e^{2\pi t}-1}$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k+n+2)-1}{2^k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k+1}{n+1})=(2^{n+2}-1)\zeta (n+2)-1$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k})[\zeta (k+\nu +2)-1]=\zeta (\nu +2)$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k+1})[\zeta (k+\nu +2)-1]=1$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k+1})[\zeta (k+\nu +2)-1]=2^{-(\nu +1)}$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k+2})[\zeta (k+\nu +2)-1]=\nu [\zeta (\nu +1)-1]-2^{-\nu }$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k})[\zeta (k+\nu +2)-1]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}$

Katso myös

• Zeeta-funktio

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite