Konservatiivinen kenttä

Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee

${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot d𝐱=0$

missä:

• $\mathrm{\Gamma }$ on suljettu polku, jota pitkin integroidaan

Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti

Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa $𝐅(𝐱)=-\mathrm{\nabla }\varphi$ jollekin skalaarikentälle $\varphi$. Mikäli F(x) on voimakenttä, on $\varphi$ potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun $\mathrm{\Gamma }$ läpi alkaen paikkavektorista x₀ ja päättyen paikkavektoriin x₁. Oletetaan, että $\mathrm{\Gamma }$ voidaan parametrisoida $𝐱=𝐱\left(t\right)$ parametrille $t_0\le t\le t_1$. Täten

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }𝐅\cdot d𝐱$	$=$	$-\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\mathrm{\nabla }\varphi \cdot d𝐱$
	$=$	$-\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \frac{d𝐱}{dt}dt=-\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t})dt$
	$=$	$-\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{d}{dt}\varphi (x(t),y(t),z(t))dt=-\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{d}{dt}\varphi (𝐱(t))dt$
	$=$	$\varphi (𝐱(t_0))-\varphi (𝐱(t_1))=\varphi \left({𝐱}_0\right)-\varphi \left({𝐱}_1\right)$

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

• Yleisesti jos $𝐅=-\mathrm{\nabla }\varphi$, silloin ${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot d𝐱=0\mathrm{\forall }\mathrm{\Gamma }$.

• Vastaavasti jos ${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot d𝐱=0\mathrm{\forall }\mathrm{\Gamma }$, silloin $𝐅=-\mathrm{\nabla }\varphi$ jollekin $\varphi$. Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin $\mathrm{\Gamma }$ ${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot d𝐱=0$.

Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit

Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle $𝐅(𝐱)=-\mathrm{\nabla }\varphi$, täten jos F on eksakti, eli $𝐅=P(x,y)𝐢+Q(x,y)𝐣$, voidaan kirjoittaa $𝐅\cdot d𝐱=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=d\varphi$. Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ on eksakti.

Konservatiivinen kenttä ja roottori

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=0$. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan $𝐅(𝐱)=-\mathrm{\nabla }\varphi$ (kts. yllä):

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{\partial \varphi }{\partial x}& \frac{\partial \varphi }{\partial y}& \frac{\partial \varphi }{\partial z}\end{array}\right|=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial \varphi }{\partial z}-\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial \varphi }{\partial y}\\ -\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial \varphi }{\partial z}+\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial \varphi }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial \varphi }{\partial z}-\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial \varphi }{\partial x}\end{array}\right]=\mathrm{𝟎}$

koska $\frac{\partial }{\partial a}\frac{\partial \varphi }{\partial b}=\frac{\partial \varphi }{\partial a}\frac{\partial }{\partial b}$ ja $\frac{\partial }{\partial a}\frac{\partial \varphi }{\partial b}=\frac{\partial \varphi }{\partial b}\frac{\partial }{\partial a}$.

Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\mathrm{𝟎}$, on ${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot d𝐥=0$ minkä tahansa polun $\mathrm{\Gamma }$ ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti $\underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐝𝐒=0={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot 𝐝𝐥$. Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\mathrm{𝟎}$.)