Eksakti differentiaali

Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$, jolle löytyy jokin funktio f siten että:

$df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$.

Toisin sanoen $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$.

Differentiaali $dg=L(x)dx$ on aina eksakti.

---

Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

on $\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)$ ja $\frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)$.

Koska $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$, on oltava $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$.

Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.

Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt

$\frac{dy}{dx}=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$ voidaan kirjoittaa muodossa $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$. Jos $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ on eksakti, eli on funktio f, jolle $df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$, on tällöin $df=0$ ja ratkaisu siten $f(x,y)=\lambda$, missä $\lambda$ on vakio.

Integrointitekijät

Funktiota $\mu (x,y)$ kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ eksaktin, eli

$\mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy$

on eksakti. Tällöin on oltava

$\frac{\partial }{\partial y}\left(\mu P\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\mu Q\right)$

josta

$\mu (\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})+P\frac{\partial \mu }{\partial y}-Q\frac{\partial \mu }{\partial x}=0$

Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa $\mu \equiv \mu (x)$ saamme

$\frac{1}{\mu }\frac{d\mu }{dx}=(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})\frac{1}{Q}$

joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle $\mu (y)$

$\frac{1}{\mu }\frac{d\mu }{dy}=-(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})\frac{1}{P}$

jos oikea puoli on vain y:n funktio.

Katso myös

• Maxwellin relaatiot

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite