Keskinen kolmio

Keskinen kolmio (punainen) muodostetaan yhdistämällä sivujen keskipisteet toisiinsa.

Keskinen kolmio muodostetaan geometriassa yhdistämällä kolmion sivujen keskipisteet janoilla toisiinsa.

Kolmio, joka syntyy kolmion sivuilla olevista pisteistä, kutsutaan sisäkolmioksi. Keskinen kolmio on siten eräs kolmion sisäkolmio. Kolmiota, josta keskinen kolmio muodostettiin, on keskisen kolmion antikomplementtinen kolmio.

Ominaisuudet

Merkitään kolmion $\mathrm{△}ABC$ kärjen vastaisia sivuja $a,bjac$ ja sivujen keskipisteitä $M_a,M_{b}ja{M}_c$, jolloin keskinen kolmio voidaan merkitä $\mathrm{△}{M}_a{M}_b{M}_c$. Keskisen kolmion sivuja voidaan merkitä $a^{\prime }=M_b{M}_c,b^{\prime }=M_a{M}_{c}ja{c}^{\prime }=M_a{M}_b$, jolloin esimerkiksi sivuja $aja{a}^{\prime }$, ja muutkin vastaavasti, ovat toistensa vastinsivuja.

Yhdenmuotoisuus

Keskinen kolmio $M_a,M_{b}ja{M}_c$ on yhdenmuotoinen $\mathrm{△}ABC$ kanssa. Voidaan nimittäin osittaa, että kaikki kolmion $M_a,M_{b}ja{M}_c$ sivut ovat yhdensuuntaisia jonkin kolmion $\mathrm{△}ABC$ sivujen kanssa. Yhdensuuntaisuus kulkee vastinsivupareina, esimerkiksi $aja{a}^{\prime }$. Yhdensuuntaisuudesta johtuen kaikki keskisen kolmion vastinkulmat ovat samat kolmion $\mathrm{△}ABC$ kulmien kanssa.

Koska keskinen kolmio määriteltiin sivujen keskipisteiden avulla, ovat sen sivut puolet kolmion $\mathrm{△}ABC$ sivuista

$a^{\prime }=\frac{1}{2}a,b^{\prime }=\frac{1}{2}bja{c}^{\prime }=\frac{1}{2}c.$

Keskisen kolmion pinta-ala ${\mathrm{△}}_{M_a{M}_b{M}_c}$ on

${\mathrm{△}}_{M_a{M}_b{M}_c}=\frac{1}{4}{\mathrm{△}}_{ABC}.$

Kolmion $\mathrm{△}ABC$ ja kärjen $A$ väliin jäävä kolmio on yhdenmuotoinen ja samankokoinen, eli yhtenevä keskisen kolmion kanssa. Sama pätee muihin vastaaviin kolmioihin ja tämä voidaan tiivistää sanomalla, että kolmio $\mathrm{△}ABC$ voidaan jakaa neljään, keskenään yhtenevään mutta kolmion kanssa, yhdenmuotoiseen kolmioon, joilla siis on sama pinta-ala. Nelikulmiot, jotka muodostuvat keskisen kolmion kärjistä ja yhdestä kolmion $\mathrm{△}ABC$ kärjestä, ovat suunnikkaita.

Merkilliset pisteet ja kolmioteoria

Keskinen kolmio syntyi yhdistämällä kolmion $\mathrm{△}ABC$ sivujen keskipisteet toisiinsa. Keskipisteisiin vedetyt keskijanat leikkaavat toisensa painopisteessä (Kimberlingin tunnus $X_2$ ). Keskisen kolmion sivujen keskipisteet sijaitsevat näillä keskijanoilla, joten keskisen kolmion keskijanat yhtyvät kolmion $\mathrm{△}ABC$ keskijanoihin. Tällöin myös keskisen kolmion painopiste on kolmion $\mathrm{△}ABC$ painopisteen kanssa sama. Itse asiassa, rekursiivisesti määritellyt kaikkien keskisen kolmioiden keskisten kolmioiden painopisteet ovat samassa paikka.

Kolmion $\mathrm{△}ABC$ ulkoympyrän keskipiste on sama kuin keskisen kolmion kolmion keskinormaalien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus $X_3$ ). Tämä johtuu siitä, että keskisen kolmion korkeusjanat ovat kolmion keskinormaaleilla, joiden leikkauspisteet ovat siksi samat. Keskisen kolmion ulkoympyrä on taas kolmion $\mathrm{△}ABC$ yhdeksän pisteen ympyrä ja sisäympyrä on sen Spiekerin ympyrä, jonka keskipiste on Spiekerin piste (Kimberlingin tunnus $X_{10}$ ).

Trilineaarit

Keskisen kolmion kärkien trilineaarit eli trilineaariset koordinaatit ovat

$M_a=0:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$, $M_b=\frac{1}{a}:0:\frac{1}{c}$ ja $M_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:0.$

Trilineaarinen matriisi on siksi

$\left[\begin{array}{ccc}0& b^{-1}& c^{-1}\\ a^{-1}& 0& c^{-1}\\ a^{-1}& b^{-1}& 0\end{array}\right].$

Lähteet

• Malline:Verkkoviite