Keskinormaali

testwikistä
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Keskinormaalin konstruktio harpilla ja viivaimella.

Keskinormaali on geometriassa suora, joka kulkee janan keskipisteen kautta eli jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan ja on samalla janan normaali.[1][2] Janan ja normaalin välinen kulma on 90°.

Punainen suora on janan AB keskinormaali. Se jakaa janan kahteen yhtäpitkään osaan ja kulkee kohtisuorasti sen yli.
Keskinormaali on niiden pisteiden ura, joiden etäisyys janan kummastakin päätepisteestä on yhtä suuri.

Janalla

Janalle voidaan piirtää mihin tahansa pisteeseen normaali, mutta janalla on vain yksi keskinormaali.[2] Keskinormaali on tasolle syntyvä ura, joka koostuu kummastakin janan päätepisteestä yhtä kaukana olevista pisteistä.[3][4][5]

Keskinormaalin konstruktio

Janalle voidaan piirtää keskinormaali käyttäen vain harppia ja viivainta. Merkitään janan päätepisteet A ja B. Otetaan harppiin säteeksi janan mitta ja piirretään ympyrät keskipisteinään A ja B. Ympyränkaaret leikkaavat kahdessa pisteessä C ja D, mikäli säteet ovat riittävän pitkät. Pisteen C etäisyydet janan päätepisteistä A ja B ovat yhtä suuret, ja samoin on pisteen D kohdalla. Silloin C ja D ovat kaksi keskinormaalin pistettä. Piirretään pisteiden C ja D kautta keskinormaalin suora.[6]

Kolmiossa

Kolmiossa keskinormaaliksi kutsutaan myös sitä janaa, joka jää keskinormaalista kolmion sisään. Janan päätepistettä kolmion sivulla kutsutaan keskinormaalin kantapisteksi.[7] Keskinormaali ei yleensä kulje vastaisen kulman kärjen kautta ja näin käy vain tasasivuisessa kolmiossa tai tasakylkisen kolmion huipussa.[3]

Keskinormaalien leikkauspiste

Kaikki kolme kolmion keskinormaalia leikkaavat samassa pisteessä.[8] Tätä pistettä kutsutaan kolmion merkilliseksi pisteeksi [9] ja Eulerin suoran yhdeksi pisteeksi.[10]

Kolmion ympäri piirretty ympyrä

Tämä piste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste.[11][12][13][14] Koska keskipiste on ympyrän keskipiste ja kolmion kärjet sijaitsevat ympyrällä, on ovat janat keskipisteestä kolmion kärkiin ympyrän säteitä ja siten keskenään yhtä pitkät. Keskipiste on siten piste, joka on yhtä kaukana kolmion kaikista kärjistä. Yhtä pitkien säteiden rajoittamat kolmiot ovat siten tasasivuisia kolmioita. Keskinormaalit ovat näiden kolmioiden korkeusjanat ja halkaisevat kolmiot kahteen yhtenevään suorakulmaiseen kolmioon.

Kolmiolla on kolme keskinormaalia, yksi kullakin sivulla. Keskinormaalit eivät useinkaan kulje vastakkaisen kärjen kautta. Ne leikkaavat yhteisessä pisteessä.
Keskinormaalien leikkauspiste on kolmion ympäri piirrettävän ympyrän keskipiste.
Ympyrän siniset säteet on merkitty leikkauspisteestä H kolmion kärkiin A, B ja C. Niiden rajoittamat kolmiot AHC, BHC ja AHB ovat tasakylkisiä kolmioita.

Analyyttinen geometria

Tasogeometriassa

Merkitään janan päätepisteitä A(xA,yA) ja B(xB,yB). Janan keskipiste M on M(x0,y0)=M(xB+xA2,yB+yA2). [15] Tämän pisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaali. Sen kulmakerroin päätellään janan kulmakertoimesta, joka on

kj=yB−yAxB−xA. [15]

Kulmakertoimien kohtisuoruusehdon mukaisesti normaalin kulmakertoimeksi saadaan

kn=−1kj=−xB−xAyB−yA. [15]

Keskinormaalin yhtälö voidaan kirjoittaa keskipisteen M ja kulmakertoimen kn avulla [16]

y−yB+yA2=−xB−xAyB−yA(x−xB+xA2),

joka on normaalimuodossa

(xB−xA)x+(yB−yA)y−12((yB2−yA2)+(xB2−xA2))=0.

Katso myös

  • Kulmanpuolittaja jakaa kolmion kulman kahteen yhtäsuureen osaa.
  • Keskijana eli mediaani kulkee kolmion kärjestä ja jakaa kolmion vastaisen sivun kahtia.

Lähteet

Viitteet

Malline:Viitteet

  1. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala17 ei löytynyt
  2. ↑ 2,0 2,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä kurittu75 ei löytynyt
  3. ↑ 3,0 3,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala26 ei löytynyt
  4. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä perpendicular_bisector_theorem ei löytynyt
  5. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala76 ei löytynyt
  6. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala27 ei löytynyt
  7. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä utu18 ei löytynyt
  8. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala77 ei löytynyt
  9. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala81 ei löytynyt
  10. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä utu48 ei löytynyt
  11. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä kurittu98 ei löytynyt
  12. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä utu19 ei löytynyt
  13. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä utu25 ei löytynyt
  14. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä circumcenter ei löytynyt
  15. ↑ 15,0 15,1 15,2 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä maol42 ei löytynyt
  16. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä maol43 ei löytynyt
Noudettu kohteesta ”https://fi.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Keskinormaali&oldid=2367”