Hyperbolinen funktio

Hyperbolisten funktioiden kuvaajat

Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.

Määritelmät

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

$\sinh x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

$\cosh x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})}$

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

$\coth t=\frac{1}{\tanh t}=\frac{\cosh t}{\sinh t}$

$\mathrm{sech}t=\frac{1}{\cosh t}$

$\mathrm{csch}t=\frac{1}{\sinh t}$

Muunnoskaavoja

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

$\sinh (-x)=-\sinh x$

$\cosh (-x)=\cosh x$, koska $\cosh x$ on parillinen funktio.

${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x² + y² = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

$x=\cos t$

$y=\sin t$,

voidaan yksikköhyperbelin (x² - y² = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa

$x=\cosh t$

$y=\sinh t$.

Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

Derivaatat

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

$\frac{d}{dx}\sinh (x)=\cosh (x)$

$\frac{d}{dx}\cosh (x)=\sinh (x)$

Hyperbolisen tangentin derivaatta on

$\frac{d}{dx}\tanh (x)=1-{\tanh }^2(x)={\text{sech}}^2(x)=1/{\cosh }^2(x)$

Funktiot kompleksialueessa

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:

$\cosh ix=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x$

$\sinh ix=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=i\sin x$

$\tanh ix=i\tan x$

$\cosh x=\cos ix$

$\sinh x=-i\sin ix$

$\tanh x=-i\tan ix$

Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on $2\pi i$, hyperbolisen tangentin $\pi i$.

Katso myös

• Alkeisfunktio

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite

Aiheesta muualla

• GonioLab Malline:Wayback: Havainnollistamaittu trigometria