Ketjukäyrä

Ketjukäyriä parametrin a eri arvoilla

Roikkuva ketju asettuu ketjukäyrän muotoiseksi.

Ketjukäyrä eli ketjuviiva, köysiviiva tai katenaari (Malline:K-la) on hyperbolisen kosinin kuvaaja. Nimensä käyrä on saanut siitä, että kahden tukipisteen varaan ripustettu taipuisa ketju (Malline:K-la) tai köysi asettuu tämän käyrän muotoiseksi.

Yhtälö

Ketjukäyrän yhtälö on

$y=a\cosh \left(\frac{x}{a}\right)=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a})$,

missä $\cosh$ merkitsee hyperbolista kosinia. Käyrä leikkaa y-akselin pisteessä (0,a), jossa funktiolla on minimi tai maksimi riippuen siitä, onko a positiivinen vai negatiivinen.

Yleisemmässä tapauksessa, jossa käyrän maksimi- tai minimikohta ei välttämättä sijaitse y-akselilla vaan mielivaltaisessa pisteessä ($\alpha$, $a+\beta$), yhtälö voidaan esittää muodossa

$y=a\cosh \frac{x-\alpha }{a}+\beta =\frac{a}{2}(e^{(x-\alpha )/a}+e^{-(x-\alpha )/a})+\beta$.

Kun ketjukäyrä esittää ketjun tai köyden muotoa, parametrien a, $\alpha$ ja $\beta$ arvot määräytyvät tietyistä reunaehdoista, joita tavallisimmin asettavat ketjun tai köyden pituus sekä sen kiinnityspisteiden sijainnit.

Ominaisuuksia

Koska hyperbolinen kosini on parillinen funktio, ketjukäyrä sen kuvaajana on symmetrinen y-akselin suhteen.

Ketjukäyrä muistuttaa muodoltaan paraabelia, erityisesti y-akselin läheisyydessä. Tämä johtuu siitä, että hyperbolisella kosinilla on Taylorin sarjakehitelmä:

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Kun x on pieni, sarjakehitelmän muut paitsi kaksi ensimmäistä termiä ovat erittäin pieniä ja käyrän yhtälö voidaan pyöristää muotoon

$y=1+\frac{x^2}{2}$

tai yleisemmässä tapauksessa

$y=a+\frac{x^2}{2a}$,

minkä yhtälön kuvaaja on paraabeli. Kun x on arvoltaan kaukana nollasta, ketjukäyrä nousee kuitenkin huomattavasti nopeammin kuin tämä paraabeli.

Kaaren pituus

Ketjukäyrän kaaren pituus y-akselilta pisteeseen (x, a cosh (x/a)) on

$s=a\sinh \left(\frac{x}{a}\right)$,

missä funktio sinh on hyperbolinen sini.