Eulerin lause (funktioteoria)

Eulerin lause tai Eulerin kaava (nimetty Leonhard Eulerin mukaan) on kompleksianalyysiin liittyvä matemaattinen kaava, joka ilmaisee kompleksilukujen toisaalta eksponenttifunktioon ja toisaalta trigonometriaan perustuvan esityksen välisen yhteyden.

Kompleksilukua e^iφ kuvaava piste sijaitsee kompleksitason yksikköympyrällä origosta alkavan nuolen kärjessä.

Eulerin lause sanoo, että kompleksiluvulle e^iφ pätee yhtälö $e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi ,$

missä $i$ on imaginaariyksikkö ja φ on vaihekulma radiaaneina. Luku z₁ = e^iφ on kompleksitason yksikköympyrällä sijaitseva kompleksiluku ja sen itseisarvo on yksi. Sen vaihekulma eli kulma suhteessa positiiviseen reaaliakseliin on φ. Muita kuin itseisarvoltaan ykkösen suuruisia kompleksilukuja kuvataan kertoimen r avulla: z₂ = re^iφ. Kulmaan perustuvalla kompleksiluvun esittämisellä on yhteys esitystapaan $z=x+yi$:

$z=r{e}^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=r\cos \varphi +(r\sin \varphi )i=x+yi,$

missä r = |z|, x = r cos φ ja y = r sin φ.

Historia

Eulerin lauseen todisti ensimmäisen kerran Roger Cotes vuonna 1714, mutta vasta Leonhard Eulerin lausetta koskeva työ vuonna 1748 toi sen lopullisesti matemaatikkojen tietoisuuteen. Kompleksilukujen esittämistä tasossa ei kuitenkaan 1700-luvulla vielä tunnettu, joten kumpikaan miehistä ei huomannut lauseen geometrista tulkintaa.

Huomioitavaa

Geometrinen tulkinta

Eulerin lause voidaan tulkita siten, että funktio e^iφ piirtää yksikköympyrän kompleksitasolle, kun φ kulkee vähintään 2π:n mittaisen reaalilukujoukon läpi. Tässä φ on kulma, jonka kompleksitason pisteeseen origosta piirretty viiva muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kulmaa mitataan tässä yhteydessä radiaaneina. Eulerin lause pätee ainoastaan, mikäli funktiot sin φ ja cos φ on määritelty radiaaneille eikä asteille.

Eulerin lause muodostaa vahvan yhteyden analyysin sekä trigonometrian välille. Lausetta käytetään hyväksi kompleksilukujen napakoordinaattiesityksessä, ja se antaa mahdollisuuden logaritmifunktion määrittelyyn kompleksiluvuille.

Eksponenttifunktion laskukaavoista

$e^{a+b}=e^a\cdot e^b$

ja

$(e^a{)}^b=e^{ab}$

voidaan johtaa Eulerin lauseen avulla useita trigonometristen funktioiden lainalaisuuksia. Trigonometriset funktiot voidaan jopa määritellä kompleksilukujen eksponenttifunktion laajennuksina (vertaa hyperbolisten funktioiden kaavat):

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

Eulerin identiteetti

Sijoittamalla

$x=\mathit{\pi }$

saa Eulerin lause kuuluisan Eulerin identiteetiksi kutsutun muodon

$e^{i\pi }+1=0,$

jota on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi. Se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1 ja 0. Siinä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen.

Todistus Taylorin sarjan avulla

Funktiot e^x, cos(x) ja sin(x) (olettaen, että x on reaalinen) voidaan Taylorin sarjan avulla kirjoittaa:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

Kompleksisille z määritellään vastaavat funktiot Taylorin sarjan avulla korvaten x:t muuttujalla iz. Havaitaan, että

$e^{iz}=1+iz+\frac{(iz{)}^2}{2!}+\frac{(iz{)}^3}{3!}+\frac{(iz{)}^4}{4!}+\frac{(iz{)}^5}{5!}+\frac{(iz{)}^6}{6!}+\frac{(iz{)}^7}{7!}+\frac{(iz{)}^8}{8!}+\cdots$

$=1+iz-\frac{z^2}{2!}-\frac{i{z}^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{i{z}^5}{5!}-\frac{z^6}{6!}-\frac{i{z}^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots$

$=(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots )+i(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots )$

$=\cos (z)+i\sin (z)$

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite
• Malline:Kirjaviite