Helmholtzin kelat

Havainnekuva Helmholtzin keloista

Helmholtzin kelat ovat laite, joka koostuu kahdesta ympyränmuotoisesta kelasta, joilla on yhteinen keskiakseli ja joiden välinen etäisyys toisistaan on yhtä suuri kuin kelojen yhteinen säde. Helmholtzin keloja käytetään mm. kokeissa kumoamaan ulkoisia magneettikenttiä, kuten Maapallon magneettikenttä. Kelat on nimetty saksalaisen fyysikon Hermann von Helmholtzin mukaan.

Magneettikenttä keskiakselilla

Magneettivuon tiheys pisteessä $P$ (joka ei ole origo $O$) koostuu useiden pisteen $Q$ kaltaisten elementtien pienistä kentistä $\mathrm{d}𝐁$.

Johdetaan lauseke magneettivuon tiheydelle kelojen keskiakselilla paikan funktiona. Oletetaan, että ohut virtajohdin ei kulje origon kautta. Olkoon johtimessa kulkeva sähkövirta

$I$

. Vasemmanpuoleisen kuvan merkinnöin voidaan kirjoittaa Biot’n−Savartin laki, joka kertoo magneettivuon tiheyden mielivaltaisessa pisteessä

$P$

:

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\oint \frac{\mathrm{d}{𝐥}^{\prime }\times (𝐫-{𝐫}^{\prime })}{\Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }{\Vert }^3}$,

missä

${\mu }_0$ on tyhjiön permeabiliteetti (eli magneettivakio),

$\mathrm{d}{𝐥}^{\prime }$ on johtimen differentiaalinen pituusalkio pisteessä $Q$ ja

$\Vert 𝐱\Vert$ merkitsee vektorin normia (pituutta).

Kahden virtasilmukan aiheuttaman magneettivuon tiheyden laskeminen mielivaltaisessa pisteessä $P$ kelojen keskiakselilla.

Sovelletaan Biot'n−Savartin lakia kahdelle ympyränmuotoiselle johdinsilmukalle siten, että piste $P$ sijaitsee silmukoiden keskiakselilla. Tarkastellaan ensin pelkästään yhtä silmukkaa. Asetetaan tarkastelukoordinaatisto siten, että origo on silmukan keskellä ja $x$-akseli kulkee silmukan keskiakselia pitkin. Olkoon silmukan säde $R$ ja siinä kulkeva sähkövirta $I$ (ks. oikeanpuoleinen kuva). Tässä geometriassa Biot'n−Savartin laista saadaan:

$\begin{array}{cc}B(𝐫)& =\Vert 𝐁(𝐫)\Vert =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\oint \frac{\Vert \mathrm{d}{𝐥}^{\prime }\times (𝐫-{𝐫}^{\prime })\Vert }{\Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }{\Vert }^3}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\oint \frac{\Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }\Vert \sin (\pi /2-\theta )\mathrm{d}{l}^{\prime }}{\Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }{\Vert }^3}\\ & =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\oint \frac{\cos \theta }{\Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }{\Vert }^2}\mathrm{d}{l}^{\prime },\end{array}$

sillä $\sin (\pi /2-\theta )=\cos \theta$ kaikilla $\theta \in ℝ$. Pisteessä $P$ termit

$\cos \theta =\frac{\Vert {𝐫}^{\prime }\Vert }{\Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }\Vert }=\frac{R}{\sqrt{R^2+x^2}}$ ja

$\Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }{\Vert }^2=R^2+x^2$

ovat vakioita, joten ne voidaan siirtää ulos integraalista. Jäljelle jää suoritettavaksi suljettu polkuintegraali yli $R$-säteisen ympyrän, eli ympyrän kehän pituus:

$B(x)=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{R}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\underset{=2\pi R}{\underbrace{\oint \mathrm{d}{l}^{\prime }}}=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$.

Jos silmukka korvataan halkaisijaltaan yhtä suurella kelalla, jossa on $N$ kierrosta, kerrotaan edellä saatu tulos $N$:llä:

$B(x)=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$.

Lisätään $x$-akselille kohtaan $x=L>0$ toinen kela, jonka säde on $R$ ja kierrosten lukumäärä $N$. Oletetaan, että tässä kelassa kulkee yhtä suuri sähkövirta samaan kiertosuuntaan kuin ensimmäisessä kelassa. Toisen kelan aiheuttama magneettivuon tiheys keskiakselilla lasketaan hyödyntäen jo saatua tulosta. Tarvitsee vain korvata muuttuja $(L-x)$:llä. Kokonaisuudessaan magneettivuon tiheys keskiakselilla saadaan näiden kahden kelan magneettivuon tiheyksien summana:

$B(x)=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}(\frac{1}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}+\frac{1}{(R^2+(L-x{)}^2{)}^{3/2}})$.

Magneettivuon tiheys Helmholtzin kelojen keskiakselilla. Molempien kelojen säde on $R$, molemmissa on $N$ kierrosta ja molemmissa kiertää sähkövirta $I$ samaan suuntaan. Ensimmäisen kelan keskipiste on origossa ja toisen pisteessä $x=R$. Kuten kuvaajasta nähdään, magneettivuon tiheys on suurimmillaan puolessavälissä keloja.

Sijoittamalla tähän yhtälöön $L=R$, saadaan yhtälö magneettivuon tiheydelle Helmholtzin kelojen keskiakselilla:

$B_{\text{keskiakseli}}(x)=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}(\frac{1}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}+\frac{1}{(2R^2-2Rx+x^2{)}^{3/2}})$.

Magneettikenttä kelojen puolivälissä

Keskiakselilla täsmälleen silmukoiden puolivälissä ($x=R/2$) magneettivuon tiheys on:

$\begin{array}{cc}{B}_{\text{keskiakseli}}\left(\frac{R}{2}\right)& =\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}(\frac{1}{(R^2+(R/2{)}^2{)}^{3/2}}+\frac{1}{(2R^2-2R\cdot R/2+(R/2{)}^2{)}^{3/2}})\\ & =\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}(\frac{1}{{\left(\frac{5}{4}{R}^2\right)}^{3/2}}+\frac{1}{{\left(\frac{5}{4}{R}^2\right)}^{3/2}})\\ & =\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}{\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}(\frac{1}{R^3}+\frac{1}{R^3})\\ & ={\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}\frac{{\mu }_{0}NI}{R}.\end{array}$

Esimerkkejä

Maapallon magneettivuon tiheys maan pinnalla voi olla paikoin 50 μT. Olkoon Helmholtzin kelojen säde (ja etäisyys) 0,5 m ja kummassakin 50 kierrosta. Lasketaan, kuinka suuri sähkövirta keloissa pitää kulkea, jotta puolessa välissä kelojen keskellä vastakkaissuuntainen maan magneettikenttä kumoutuu.

Ratkaisu:

Käyttämällä viimeisimpänä johdettua yhtälöä magneettivuon tiheydelle keskiakselilla kelojen puolivälissä, saadaan:

$\begin{array}{cc}I& ={\left(\frac{5}{4}\right)}^{3/2}\frac{RB}{{\mu }_{0}N}={\left(\frac{5}{4}\right)}^{3/2}\frac{\text{0,5}\text{m}\cdot \text{5,0}\cdot 10^{-5}\text{T}}{4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\text{T}\cdot \text{m}}{\text{A}}\cdot 50}\\ & =\text{0,55606}\dots \text{A}\approx \text{0,6}\text{A}.\end{array}$

Kuten huomataan, jo suhteellisen pienellä laitteistolla ja pienellä sähkövirralla saadaan maapallon magneettikenttä keskellä laitteistoa kumottua täysin.

Katso myös

• Magneettikenttä
• Kela (komponentti)