Funktion differentiaali

Differentiaalin ja differenssin geometrista tulkinta. Kun siirrytään välin $\mathrm{\Delta }x$ verran (kuvassa PR), kasvaa funktion arvo $f(x)\to f(x+\mathrm{\Delta }x)$ (kuvassa RQ) eli differenssin $\mathrm{\Delta }y$ verran. Punaisen tangenttisuoran alle jäävä osa (kuvassa RS) on differentiaali $dy$ ja tangentilta funktion kuvaajalle (kuvassa SQ) on virhe $ϵ$.

Differentiaali on matematiikassa reaaliarvoisen funktion eräs sen muutosnopeutta määrittelevän lausekkeen tai mitan nimitys. Differenssi, joka tarkoittaa funktion todellista muutosta, jaetaan muutoksen lineaariseen osaan, eli differentiaaliin, ja korjaustermiin. Differentiaalin käsite on keskeisessä osassa differentiaalilaskennassa ja esimerkiksi derivaatan määritelmässä.

Johdanto

Historia

Differentiaalit esitteli ensimmäisenä Gottfried Wilhelm Leibniz, jonka heuristinen ja intuitiivinen ajatus oli esittää dy äärimmäisen pienenä suureen y muutoksena. Muutos dy oli pienempi kuin mikään reaaliluku, mutta ei kuitenkaan aivan nolla. Tällaisia lukuja on kutsuttu infinitesimaaleiksi ja niiden käytön perinne juontaa Euroopassa Kreikan antiikkiin. Yhdessä muuttujan x muutoksen dx kanssa voitiin nyt esitellä muutosnopeus dy/dx, joka kutsutaan Leibnizin merkinnäksi derivaatalle. Vaikka luvut dy ja dx olisivatkin äärimmäisen pieniä lukuja, ei osamäärä dy/dx sitä välttämättä ole.

Koska infinitesimaalien käyttöä kritisoitiin voimakkaasti 1700- ja 1800-luvuilla, julkaisi Augustin-Louis Cauchy uuden differentiaalin määritelmän, joka ei enää käyttänyt infinitesimaalin käsitteitä määrittelyn perusteinaan. Sen sijaan se määriteltiin derivaatan avulla, joka taas määriteltiin raja-arvon avulla. Tästä alkoi kehitys, joka tarkensi analyysin käsitteiden perusteita tehden tästä matematiikan haarasta laajemmin hyväksytyn.

Infinitesimaaleista ei kuitenkaan päästy eroon. Monilla fysiikan ja tekniikan aloilla sitä käytetään rinnakkain raja-arvoon perustuvan matematiikan rinnalla. Haluttomuus luopua infinitesimaaleista johtunee niillä laskemisen vaivattomuudesta.

Merkitys

Yhden muuttujan tapauksessa (viereinen kuvaaja) tarkastelupisteeseen piirretty tangentti erottaa differenssistä $\mathrm{\Delta }y$ (kuviossa RS) differentiaalin $dy$ (RQ), joka jää kuviossa tangentin alle. Differentiaali on siten funktion muutoksessa sen lineaarinen komponentti ja se kuvaa melko tarkasti funktion muutosta tarkastelupisteen lähellä. Differenssi, joka on funktion todellinen muutos, on melkein saman suuruinen kuin differentiaali. Korvaamalla differenssi differentiaalilla tehdään pieni virhe. Raja-arvotilanteessa, kun väli $\mathrm{\Delta }x$ lyhenee melkein nollaksi, pienenee virhe hyvin pieneksi, joten tarkastelupisteessä differentiaalia voisi käyttää erotusosamäärän lausekkeessa (derivaatan määrittämiseksi) yhtä hyvin kuin differenssiäkin. Monesti funktion kulkua tarkastelupisteessä kuvataankin tangenttisuoralla, jonka derivaatta on sama kuin funktion käyrällä. Differentiaalit liittyvätkin muutostarkasteluihin, joissa funktion käyrä tai pinta korvataan tangentin suuntaisilla vektoreilla. Funktion differenssit lasketaan silloin likiarvoilla

$f(a+\mathrm{\Delta }x)\approx f(a)+dy.$

Differenssi

Funktion muuttumista voidaan tutkia laskemalla sen arvoja eri muuttujan x arvoilla. Kun funktion $f(x)$ arvo lasketaan arvolla $a$, saadaan $f(a).$ Siirrytään sopivan matkan $\mathrm{\Delta }x=h$ etäisyydelle ja lasketaan uusi funktion arvo $f(a+h).$ Funktion arvojen differenssi $\mathrm{\Delta }f$ (Malline:K-en eli erotus) pisteessä $a$ on

$\mathrm{\Delta }f(a)=f(a+h)-f(a).$

Usein tämä merkitään myös

$\mathrm{\Delta }f(a)=\mathrm{\Delta }y=f(a+h)-f(a)=f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a).$

Differentiaali ja korjaustermi

Merkitään virhefunktiota $ϵ(x,h)$ ja havaitaan, että se riippuu muuttujan arvosta x ja siirtymästä h. Silloin erotusosamäärän ja derivaatan erotus tarkoittaa virhettä, joka tehdään, kun erotusosamäärän arvolla korvataan derivaatan tarkkaa arvoa. Virhe lasketaan siten

$ϵ(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{h}-f^{\prime }(x).$

Voidaan osoittaa, että jos korjaustermi pienenee olemattomaksi

$\underset{h\to 0}{\lim }ϵ(x,h)=0,$

on funktio derivoituva kyseisessä pisteessä x.

Kertomalla edellinen yhtälö luvulla h, saadaan

$f(x+h)-f(x)=f^{\prime }(x)h+hϵ(x,h).$

Sama yhtälö voidaan merkitä myös

$\mathrm{\Delta }f(x)=f^{\prime }(x)h+hϵ(x,h),$

eli

$\mathrm{\Delta }f(x)=df+hϵ(x,h).$

Yhtälön vasenta puolta kutsutaan differenssiksi $\mathrm{\Delta }f(x)$ ja oikealla puolella ovat differentiaali $f^{\prime }(x)h$, joka merkitään joskus $df$, ja korjaustermi $hϵ(x,h).$ Merkinnällä $df$ viitataan funktion arvojen (vanhanaikaiseen) infinitesimaaliseen muutokseen.

Merkintöjä

Kun käytetään suureita $x$ ja $y$ ja suure $y$ riippuu suureesta $x$, voidaan differentiaali merkitä

$dy=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$

tai

$dy=f^{\prime }(x)dx,$

kun ollaan hyvin lähellä tarkastelupistettä eli $\mathrm{\Delta }x\to dx.$

Jos tunnetaan $y$:n lauseke $y=f(x)$, voidaan merkitä myös

$dy=df=df(x)=f^{\prime }(x)dx$

Yleisesti voidaan myös merkitä funktiolle $f$ sen differentiaalia

$df(x,\mathrm{\Delta }x)=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x.$

Likiarvoista

Funktion lisäys eli differenssi on määritelty

$\mathrm{\Delta }y=f(a+h)-f(a)$

joka voidaan esittää myös differentiaalin avulla

$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+ϵ\mathrm{\Delta }x=df(x)+ϵ\mathrm{\Delta }x=dy+ϵ\mathrm{\Delta }x$

missä $ϵ\mathrm{\Delta }x\to 0$ kun $\mathrm{\Delta }x\to 0.$ Funktion lisäystä voidaan siksi approksimoida differentiaalin avulla hyvinkin tarkasti, kun h on riittävän pieni. Silloin on rajallemenon loppuvaiheessa jo

$\mathrm{\Delta }y\approx dy.$

Usean muuttujan funktiot

Usean muuttujan funktio, joka saa reaalilukuarvoja, on skalaarikenttä $f:{ℝ}^n\to ℝ$. Funktio f on differentioituva tarkastelupisteessä ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}\in {ℝ}^n$, jos sillä on olemassa siinä pisteessä, ja pisteen lähiympäristössä, kaikkien muuttujiensa osittaisderivaatat. Silloin funktiolla on olemassa myös gradientti ja funktiolle voidaan kirjoittaa differentiaalikehitelmä

$f({𝐱}_{\mathrm{𝟎}}+𝐡)-f({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})=\mathrm{\nabla }f({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})\cdot 𝐡+||𝐡||ϵ({𝐱}_{\mathrm{𝟎}},𝐡),$

missä ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}},𝐡\in {ℝ}^n$ ja kertolasku on vektorien pistetulo. Kehitelmässä lauseke

$\mathrm{\nabla }f({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})\cdot 𝐡$

on funktion differentiaali df. Merkintä $\mathrm{\nabla }f({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$ (lue "nabla f") tarkoittaa funktion gradienttia pisteessä ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$. Gradientti ilmaisee funktion suunnatun derivaatan suurimman arvon ja suunnan. Kun gradientti kerrotaan suunnalla $𝐡$, saadaan tarkastelupisteen suunnatun derivaatan arvo suunnassa $𝐡$.

Lähteet

• Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, 2013
• Hassi, Seppo: Matemaattiset menetelmät II (luentomoniste), Vaasan yliopisto, 2014

Aiheesta muualla

• Johdatus analyysiinMalline:Vanhentunut linkki (Luentomoniste), Kurssin sivustoMalline:Vanhentunut linkki, Tampereen yliopisto, 2011
• Karjalainen, Tiina: Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa Malline:Wayback (tutkielma), 2011, Tampereen yliopisto
• Kock, Anders: Synthetic Differential Geometry Malline:Wayback, Cambridge University Press., 2006, Malline:En
• Goursat, Édouard: A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry, E. R. Hedrick, New York: Dover Publications, 1904 (julkaistu 1959)