Eulerin identiteetti

Eulerin identiteettiä havainnollistava kuva. Lukua $e^{i\pi }$ vastaa kehän piste Malline:Nowrap, sillä Malline:Nowrap on yksikköympyrän parametrisointi kompleksitasossa.

Eksponenttifunktio $e^z$ funktion Malline:Nowrap raja-arvona, kun $N$ lähestyy ääretöntä. Animaatiossa $N$ saa arvoja välillä 1 − 100. Kun $N$ suurenee, Malline:Nowrap lähestyy arvoa −1.

Eulerin identiteetti on kompleksianalyysissä Eulerin lauseella saatu yhtälö

$e^{i\pi }+1=0,$

jossa

$e$ on Neperin luku,

$i$ on imaginaariyksikkö ja

$\pi$ on pii.

Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi, koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja kompleksiluvut. Kaavassa on myös yhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.

Määrittäminen

Eulerin lause on seuraavanlainen:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Lause on pätevä kaikille reaaliluvuille x. Kulma x on radiaaneina.

Jos nyt asetetaan

$x=\pi$,

niin

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

Koska

$\cos \pi =-1$

ja

$\sin \pi =0,$

seuraa, että

$e^{i\pi }=-1,$

josta saadaan Eulerin identiteetti

$e^{i\pi }+1=0.$

Q.E.D.

Aiheesta muualla

• Malline:Kirjaviite