Alexanderin–Spanierin kohomologia

Algebrallisessa geometriassa Alexanderin–Spanierin kohomologia on kohomologiteoria, joka esiintyy monistojen differentiaalimuotojen, joilla on kompakti kantaja, teoriassa. Teoria on samantapaista ja jossain määrin duaalista de Rhamin kohomologian kanssa. Kohomologia on saanut nimensä J. W. Alexanderin ja Edwin Henry Spanierin (1921-1996) mukaan.

Olkoon X annettu monisto. Olkoon ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^k(X)$ reaalinen X:n k-muotojen vektoriavaruus joilla on kompakti kantaja ja olkoon d ulkoinen derivaatta. Tällöin Alexanderin–Spanierin kohomologiaryhmät $H_{\mathrm{c}}^k(X)$ ovat homologisia ketjukompleksin $({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^{\bullet }(X),d)$:

$0\to {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^0(X)\to {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^1(X)\to {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^2(X)\to \dots$;

kanssa, eli $H_{\mathrm{c}}^k(X)$ on suljettuja k-muotoja modulo eksakti k-muoto.

Huolimatta niiden määritelmästä homologiakompleksina, Alexanderin–Spanierin ryhmät käyttäytyvät kovariantisti. Esimerkiksi jos on annettu inkluusiokuvaus X:n avoimelle joukolle U, on laajennus U:lta X:ään ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^{\bullet }(U)\to {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^{\bullet }(X)$, joka indusoi kuvauksen

$H_{\mathrm{c}}^k(U)\to H_{\mathrm{c}}^k(X)$.

Ne antavat myös esimerkin kontravariantista kunnollisten kuvausten suhteen, eli kuvauksen kompaktien joukkojen alkukuvat ovat kompakteja. Olkoon F: U → X tällainen kuvaus. Tällöin pullback

$f^{*}:{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^k(X)\to {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{c}}^k(U):\sum _I{g}_{I}d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}\mapsto (g\circ f)d(x_{i_1}\circ f)\wedge \dots \wedge d(x_{i_k}\circ f)$

indusoi kuvauksen

$H_{\mathrm{c}}^k(X)\to H_{\mathrm{c}}^k(U)$.

Mayerin–Vietoriksen jono on voimassa Alexanderin–Spanierin kohomologiassa.