Binomisarja

Binomisarja on funktion $f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$ Taylorin sarja, kun $\alpha \in ℂ$ on mielivaltainen kompleksi- tai erikoistapauksessa reaaliluku. Se voidaan esittää muodossa

$\begin{array}{cc}(1+x{)}^{\alpha }& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k(1)\\ & =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,\end{array}$

jolloin binomisarja on yhtälön (1) oikealla puolella oleva potenssisarja. Yhtälö pätee, kun tämä sarja suppenee. Sen kertoimet voidaan esittää yleistettyinä binomikertoimina:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}):=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}.$

Erikoistapauksia

Jos α on ei-negatiivinen kokonaisluku n, sarjan (n + 2):s ja kaikki sen jälkeiset termit ovat nollia, sillä ne ovat tuloja, joissa yksi tekijä on n−n = =0. Tässä tapauksessa sarjassa on siis vain äärellinen määrä yhteen­laskettavia, ja tuloksena saadaan algebran binomilause.

Seuraava tulos pätee kaikille kompleksi­luvuille β, mutta se on erityisen hyödyllinen, kun yhtälössä (1) esiintyvä eksponentti on negatiivinen kokonaisluku:

$\frac{1}{(1-z{)}^{\beta +1}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\beta }{k})z^k.$

Tämän todistamiseksi on yhtälössä (1) tehtävä korvaus x = −z in (1) ja sovellettava binomikertoimille johdettua tulosta

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\beta -1}{k})=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\beta }{k}).$

Suppeneminen

Suppenemisehdot

Suppeneeko sarja (1), riippuu kompleksilukujen $\alpha$ ja $x$ arvoista. Tarkemmin sanottuna:

1. Jos $|x|<1$, sarja suppenee itseisesti kaikilla kompleksiluvuilla α.
2. Jos $|x|=1$, sarja suppenee itseisesti, jos ja vain jos joko $Re(\alpha )>0$ tai $\alpha =0$.
3. Jos $|x|=1$ ja $x\ne -1$, sarja suppenee, jos ja vain jos $Re(\alpha )>-1$
4. Jos $x=-1$, sarja suppenee, jos ja vain jos joko $Re(\alpha )>0$ tai $\alpha =0$.
5. Jos $|x|>1$, sarja hajaantuu, paitsi jos $\alpha$ on ei-negatiivinen kokonaisluku (missä tapauksessa sarja yksin­kertaistuu äärelliseksi summaksi).

Toisin sanoen jos $\alpha$, sarjan suppenemissäde on 1. Suppenemis­kiekon $|x|=1$ kehällä tilanteesta voidaan esittää seuraava yhteenveto:

• Jos $Re(\alpha )>0$, sarja suppenee itseisesti.
• Jos $-1<Re(\alpha )<0$, sarja suppenee, vaikkakaan ei itseisesti, jos $x\ne -1$, ja hajaantuu, jos $x=-1$.
• Jos $Re(\alpha )\le -1$, sarja hajaantuu.

Todistuksessa käytettyjä tuloksia

Kaikille kompleksiluvuille  α: pätee:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{0})=1,$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\frac{\alpha -k}{k+1},(2)$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +1}{k}).(3)$

Jos $\alpha$ on ei-negatiivinen kokonaisluku, lausekkeen kertoimet ovat nollia, kun $k$ on suurempi kuin $\alpha$. Muussa tapauksessa kertoimille pätee käyttö­kelpoinen asymp­toottinen yhteys, joka Landaun symbolilla voidaan merkitä:e

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{(-1{)}^k}{\mathrm{\Gamma }(-\alpha )k^{1+\alpha }}(1+o(1)),\text{kun }k\to \mathrm{\infty }.(4)$

Tämä on oleellisesti yhtäpitävä Eulerin gammafunktion määritelmän kanssa:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{k!k^z}{z(z+1)\cdots (z+k)},$,

josta binomikertoimelle saadaan välittömästi karkea arvio:

$\frac{m}{k^{1+\mathrm{Re}\alpha }}\le \left|(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\right|\le \frac{M}{k^{1+\mathrm{Re}\alpha }},(5)$

missä m ja M ovat joitakin kokonaislukuja.

Kaavan (2) avulla on helppo todistaa induktiivisesti, että

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\prod _{j=1}^k(\frac{\alpha +1}{j}-1).(6)$

Todistus

Yhtälöiden (i) ja (v) todistamiseksi sovelletaan osamäärätestiä ja käytetään edellä esitettyä kaavaa osoittamaan, että kun $\alpha$ ei ole ei-negatiivinen kokonais­luku, kompleksi­tasossa sen kiekon säde, jossa sarja suppenee, on tasan  1. Kohta (ii) seuraa yhtälöstä (5) vertaamalla p-sarjaan

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^p},$

missä $p=1+\text{Re}\alpha$. Kohdan (iii) todistamiseksi käytetään ensin kaavaa (3), josta saadaan

$(1+x)\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +1}{k})x^k+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^{n+1},(7)$

minkä jälkeen käytetään tulosta (ii) ja jälleen kaavaa (5) sen todistamiseksi, että yhtälön oikealla puolella oleva sadja suppenee, kun oletetaan, että $\text{Re}\alpha >-1$. Toisaalta sarja ei suppene, jos $|x|=1$ ja $\text{Re}\alpha \le -1$, mikä sekin seuraa kaavasta (5). Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että kaikilla arvoilla $j$ pätee: $|\frac{\alpha +1}{j}-1|\ge 1-\frac{\text{Re}\alpha +1}{j}\ge 1$. Niinpä kaavasta (6) seuraa, että kaikilla arvoilla $k$ on $\left|(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\right|\ge 1$. Kohta (iii) on näin todistettu. Kohdan (iv) todistamiseksi käytetään yllä olevaa identiteettiä (7) ja sijoittamalla siihen $x=-1$ ja $\alpha$:n paikalle $\alpha -1$ in place of $\alpha$. Kaavan (4) avulla saadaan tällöin:

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})(-1{)}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -1}{n})(-1{)}^n=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-\alpha +1)n^{\alpha }}(1+o(1))$

kun $n\to \mathrm{\infty }$. Tulos (iv) seuraa nyt sarjan $n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log (n)}$ asymptootti­sesta käyttäytymisestä. (Tarkemmin sanottuna$\left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\text{Re}\alpha \log n}$ selvästikin suppenee kohti arvoa $0$, jos $\text{Re}\alpha >0$, ja hajaantuu kohti arvoa $+\mathrm{\infty }$ jos $\text{Re}\alpha <0$. Jos $\text{Re}\alpha =0$, niin $n^{-\alpha }=e^{-i\text{Im}\alpha \log n}$ suppenee, jos ja vain jos sarja $\text{Im}\alpha \log n$ suppenee $\text{mod}2\pi$, mikä selvästikin pätee, jos $\alpha =0$, mutta ei jos $\text{Im}\alpha \ne 0$. Jälkimmäisessä tapauksessa lukujono on tiheä $\text{mod}2\pi$, koska $\log n$ hajaantuu ja $\log (n+1)-\log n$ suppenee kohti nollaa).

Binomisarjan summaus

Binomisarjan summaus voidaan suorittaa seuraavasti. Differentioimalla binomi­sarja termeittäin suppenemis­kiekossa |x| < 1 ja käyttämällä kaavaa (1) todetaan, että sarjan summa on analyyttinen funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön (1 + x)u'(x) = αu(x) alkuarvolla u(0) = 1. Ainoa tällainen funktio on u(x) = (1 + x)^α, joka siis on binomi­sarjan summa ainakin arvoilla |x| < 1. Yhtä­suuruus pätee myös, kun |x| = 1, mikäli sarja suppenee, mikä seuraa Abelin lauseesta ja funktion (1 + x)^α jatkuvuudesta.

Historia

Ensimmäiset tulokset, jotka koskevat binomisarjan suppenemista, kun eksponentti ei ole ei-negatiivinen kokonaisluku, esitti Isaac Newton tutkitessaan eräiden käyrien alle jääneiden alueiden pinta-aloja. Newtonin tuloksiin perustuen John Wallis käsitteli muotoa y = (1 − x²)^m olevia lausekkeita, missä m on murtoluku. Nykyisellä terminologialla ilmaistuna hänen tuloksensa osoittaa, että funktiolla −x²)^k on sarjakehitelmä, jonka kertoimet c_k saadaan kertomalla edellinen kerroin luvulla $\frac{m-(k-1)}{k}$, samoin kuin kokonais­luku­eksponenttienkin tapauksessa, ja täten hän sai muodostetuksi näille kertoimille im­pli­siit­ti­sen lausekkeen. Seuraaville erikois­tapauksille hän johti myös eks­pli­siit­ti­set lausekkeet:

$(1-x^2{)}^{1/2}=1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2{)}^{3/2}=1-\frac{3x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2{)}^{1/3}=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{9}-\frac{5x^6}{81}\cdots$

Binomisarjaa koskevaa tulosta sanotaan sen vuoksi joskus Newtonin binomilauseeksi. Newton ei kuitenkaan esittänyt todistusta, mutta hän totesi sen pätevän useissa käsittelemissään erikoistapauksissa. Myöhemmn Niels Henrik Abel käsitteli asiaa eräässä muistiossaan ja kiinnitti erityistä huomiota siihen, milloin sarja suppenee.

Katso myös

• Binomilause