Binomikerroin

Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos $n, k \in ℕ$ ja $k \leq n$ , niin binomikerroin on $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$ .

Tämä luku osoittaa, kuinka monella eri tavalla $n$ alkiota käsittävästä joukosta voidaan poimia sellainen osajoukko, jossa on $k$ alkiota.

Esimerkiksi neljästä henkilöstä (A, B, C ja D) voidaan valita kaksi henkilöä kuudella tavalla: AB, AC, AD, BC, BD ja CD. Näiden sisäisellä järjestyksellä (permutaatio) ei ole väliä.

Täten: $(\binom{4}{2}) = 6$ .

Useissa laskimissa sama toiminto on nimeltään nCr (esim. nCr(4,2) ).

Ominaisuuksia

Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:

$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$
$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$
$(\binom{n}{1}) = (\binom{n}{n - 1}) = n$
Pascalin sääntö: $(\binom{n + 1}{k}) = (\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k})$
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$

Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta niin, että n vastaa kolmion rivinumeroa, ja k binomikertoimen järjestysnumeroa rivin reunasta laskien.

Binomin potenssit

Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:

(a + b)^{2} = (\binom{2}{0}) a^{2} + (\binom{2}{1}) a b + (\binom{2}{2}) b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a + b)^{3} = (\binom{3}{0}) a^{3} + (\binom{3}{1}) a^{2} b + (\binom{3}{2}) a b^{2} + (\binom{3}{3}) b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a + b)^{4} = (\binom{4}{0}) a^{4} + (\binom{4}{1}) a^{3} b + (\binom{4}{2}) a^{2} b^{2} + (\binom{4}{3}) a b^{3} + (\binom{4}{4}) b^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}

Yleistyksiä

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin $(\binom{- n}{k}) = (- 1)^{k} (\binom{n + k - 1}{k}) = (- 1)^{k} \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}$ .

Yleisesti on voimassa, että jos $α \in ℝ$ , niin $(\binom{α}{n}) = \frac{\prod_{i = 0}^{n - 1} (α - i)}{n!}$ .^[1]

Binomikertoimien ala- ja ylärajoja

Binomikertoimelle $(\binom{n}{k})$ on voimassa seuraavat arviot:

$(\binom{n}{k}) \leq \frac{n^{k}}{k!}$

$(\binom{n}{k}) \leq {(\frac{n \cdot e}{k})}^{k}$

$(\binom{n}{k}) \geq {(\frac{n}{k})}^{k}$

Lähteet

Malline:Viitteet

Aiheesta muualla

Malline:Commonscat

Binomial Coefficient

↑ Lennart Råde, Bertil Westergren: Mathematics Handbook for Science and Engineering

[1] Lennart Råde, Bertil Westergren: Mathematics Handbook for Science and Engineering

[1]

Binomikerroin

Sisällys

Ominaisuuksia

Binomin potenssit

Yleistyksiä

Binomikertoimien ala- ja ylärajoja

Lähteet

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Binomikerroin

Ominaisuuksia

Binomin potenssit

Yleistyksiä

Binomikertoimien ala- ja ylärajoja

Lähteet

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Haku