Binomilause

Alkeisalgebrassa binomilause kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)ⁿ summaksi, jossa termit ovat muotoa ax^by^c, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on x tai y jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:

Pascalin kolmion viisi ensimmäistä riviä. Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.

$(x+y{)}^1=x+y$

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4$

$(x+y{)}^5=x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5$

Kerroin a termissä x^by^c tunnetaan binomikertoimena $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{b})$ tai $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{c})$ (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{b})=\frac{n!}{b!\cdot (n-b)!}$

missä b! tarkoittaa luvun b kertomaa.

Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{b})$ osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa n alkion joukolla on.

Historiaa

Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa. intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia. Al-Karaji antoi myös matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota.

Lauseen väite

Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (x + y):n summaksi, joka on muotoa

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n{y}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{y}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^0{y}^n,$

missä jokainen $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös binomikaavaan tai binomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}.$

Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen x :n ja y :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.

Esimerkkejä

Pascalin kolmio

Tavallisin esimerkki binomilauseesta on x + y:n neliö:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2.$

Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet x + y:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :

$\begin{array}{cc}(x+y{)}^3& =x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3,\\ (x+y{)}^4& =x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4,\\ (x+y{)}^5& =x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5,\\ (x+y{)}^6& =x^6+6x^{5}y+15x^4{y}^2+20x^3{y}^3+15x^2{y}^4+6x{y}^5+y^6,\\ (x+y{)}^7& =x^7+7x^{6}y+21x^5{y}^2+35x^4{y}^3+35x^3{y}^4+21x^2{y}^5+7x{y}^6+y^7.\end{array}$

Huomaa, että

1. x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n ( n potenssissa $(x+y{)}^n.)$
2. y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on n (myös n potenssissa$(x+y{)}^n.)$
3. Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.)

Todistuksia

Kombinatorinen todistus

Esimerkki

xy²n kerroin

$\begin{array}{cc}(x+y{)}^3& =(x+y)(x+y)(x+y)\\ & =xxx+xxy+xyx+\underset{\_}{xyy}+yxx+\underset{\_}{yxy}+\underset{\_}{yyx}+yyy\\ & =x^3+3x^{2}y+\underset{\_}{3x{y}^2}+y^3.\end{array}$

on $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})=3$ koska on kolme kolmen kirjaimen pituista x,y jonoa, joissa on tarkalleen kaksi y'tä, nimittäin,

$xyy,yxy,yyx,$

vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin,

$\{2,3\},\{1,3\},\{1,2\},$

missä jokaisessa osajoukossa eritellään yn paikka vastaavassa jonossa.

Yleinen tapaus

Kun kehitetään auki (x + y)ⁿ niin se tuottaa 2ⁿ tulojen summaa, jotka ovat muotoa e₁e₂ ... e_n missä jokainen e_i on x tai y. Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa x^n−ky^k k:n arvoilla 0:sta n:ään. Kun k tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:

• alkioiden lukumäärä x^n − ky^k:n alkioiden kehitelmässä
• n-alkioisten jonojen lukumäärä x:ää ja y:tä, joissa y on tarkalleen k kertaa
• k-alkioisten osajoukkojen lukumäärä joukosta {1, 2, ..., n}
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

Tämä todistaa binomilauseen.

Binomisarja

Jos eksponentti n ei ole positiivinen kokonaisluku eikä nolla, ei lauseketta $(1+x{)}^n$ voida kehittää polynomiksi. Yleistetyn binomilauseen mukaan sille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmä:

$\begin{array}{cc}(1+x{)}^{\alpha }& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}{x}^k=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,\end{array}$,

missä yleensä pätee kuitenkin vain, $|x|<1$ (ja eräissä tapauksissa silloinkin, kun $|x|=1$), jolloin sarja suppenee. Tässä kertoimille $\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}$ käytetään myös merkintää $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})$. Tätä sarjaa sanotaan binomisarjaksi.

Erikoistapauksessa, kun n on positiivinen kokonaisluku, sarjan kertoimet n+1:nnestä lähtien ovat kaikki nollia, jolloin tuloksena saadaan algebran binomilause.

Lähteet

• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Binomial Theorem Introduction Malline:Wayback