Massavirta

Massavirta (tunnus ṁ, lue: "m-piste") on fysiikassa ja tekniikassa käytettävä suure, joka kuvaa aineen massan kulkeutumista tietyn tarkkailupinnan läpi aikayksikössä. Massavirran SI-yksikkö on kilogramma per sekunti. Massavirta määritellään tarkasteltavan pinnan läpi kulkeutuvan massan derivaattana ajan suhteen:

$\dot{m}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{m(t+\mathrm{\Delta }t)-m(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$.

Merkintä $\dot{m}$ on peräisin Isaac Newtonilta, sillä hän käytti aikaderivaattojen merkitsemiseen symbolin yllä pistettä. Massavirta on skalaari, koska massa on skalaari.

Muita määritelmiä ja yhtälöitä

Yksiulotteisen virtauksen tapauksessa massavirta voidaan kirjoittaa virtaavan fluidin ja virtauksen ominaisuuksien avulla:

$\dot{m}=\rho Av$,

missä

$\rho$ on fluidin tiheys,

$A$ on virtauksen poikkipinta-ala ja

$v$ on virtauksen nopeus.

Jos virtaus puolestaan on kolmiulotteista ja virtaavan fluidin tiheys ja/tai nopeus $𝐯$ vaihtelevat pinnan $𝒮$ eri pisteissä, saadaan massavirta vuointegraalina:

$\dot{m}=\underset{𝒮}{\iint }\rho 𝐯\cdot \mathrm{d}𝐀=\underset{𝒮}{\iint }\rho (𝐯\cdot \widehat{𝐧})\mathrm{d}A$,

missä $\widehat{𝐧}$ on kaikissa pisteissä pintaa $𝒮$ vastaan kohtisuora yksikkövektori (yksikkönormaali). Mikäli tiheys ja nopeus ovat vakioita ja $𝒮$ on taso, sievenee integraali muotoon:

$\dot{m}=\rho 𝐯\cdot 𝐀=\rho 𝐯\cdot A\widehat{𝐧}=\rho Av\cos \theta$,

missä

$𝐀=A\widehat{𝐧}$ on tason pinta-alavektori ja

$\theta$ on $𝐯$:n ja $\widehat{𝐧}$:n välinen kulma.

Massavirta saadaan myös tilavuusvirrasta $\dot{V}$ kertomalla se fluidin tiheydellä:

$\dot{m}=\rho \dot{V}$.

Massan säilymislaki

Pääartikkeli: Aineen häviämättömyyden laki

Suljetussa systeemissä massa pysyy vakiona, jolloin massan säilymislaki voidaan kirjoittaa muodossa:

${\left(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right)}_{\text{systeemi}}=0=\underset{𝒱}{\iiint }\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}V+\underset{𝒮}{\iint }\rho 𝐯\cdot \mathrm{d}𝐀$,

missä yhtälön oikea puoli on nk. Reynoldsin kuljetusteoreema tarkkailutilavuudelle $𝒱$ ja tarkkailupinnalle $𝒮$. Jos virtaus on kokoonpuristumatonta, on $\partial \rho /\partial t=0$, ja massan säilymislaki voidaan kirjoittaa edelleen:

$\sum _i({\dot{m}}_i{)}_{\text{ulos}}=\sum _i({\dot{m}}_i{)}_{\text{sisään}}$.

Alaindeksit "sisään" ja "ulos" viittaavat systeemin sisään ja systeemistä ulos suuntautuviin massavirtoihin.

Katso myös

• Virtaama
• Vuo
• Reynoldsin kuljetusteoreema