Reynoldsin kuljetusteoreema

Reynoldsin kuljetusteoreema (RKT) on virtausmekaniikassa käytetty matemaattinen malli. Sen avulla tarkastellaan systeemin jonkin ominaisuuden muutosnopeutta suhteutettuna saman ominaisuuden muutosnopeuteen kontrollitilavuudessa. Teoreema on nimetty irlantilaisen virtausmekaniikkaan perehtyneen Osborne Reynoldsin mukaan.

Kontrollitilavuus ja systeemi

Termodynamiikassa ja mekaniikassa tarkasteltavana kohteena on tavanomaisesti systeemi, mutta virtausmekaniikassa tarkastelun kohteena on usein kontrollitilavuus. Kontrollitilavuus on valittu tarkasteltava avaruuden alue, jonka pintaa kutsutaan kontrollipinnaksi. Sitä vastoin systeemi käsittää ne hiukkaset/materiaalimäärän, jotka kuuluvat kontrollitilavuuteen tietyllä ajanhetkellä. Virtaustilanteessa ainetta virtaa läpi kontrollitilavuuden. Alussa siis systeemi täyttää kontrollitilavuuden, mutta ajan myötä se siirtyy ainevirtauksen mukana siitä pois. Systeemin muoto ja tilavuus voi muuttua, mutta sen massa pysyy vakiona.

Reynoldsin teoreema

Olkoon nyt $B$ jokin virtaavan aineen ominaisuus. Nyt siis $B_S$ on systeemiin kuuluvan aineen ominaisuuden määrä ja $B_C$ kontrollitilavuuteen kuuluvan aineen ominaisuuden määrä. Alussa pätee $B_S=B_C$, koska silloin systeemi täyttää kontrollitilavuuden.

Systeemin sisältämän ominaisuuden muutos ajan $t$ suhteen ilmaistaan yhtälöllä

$\frac{d{B}_S}{dt}=\int \frac{\partial }{\partial t}(\rho b)dV+\int \rho b\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}dA$,

missä $\rho$ on tiheys, $b$ ominaisuuden määrä massayksikköä kohti, $V$ kontrollitilavuuden suuruus, $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}$ virtausnopeuden normaalikomponentti ja $A$ kontrollitilavuuden kontrollipinta-ala. Yhtälön oikean puolen ensimmäinen termi ilmaisee ominaisuuden määrän muutoksen kontrollitilavuudessa ja jälkimmäinen termi kertoo kontrollipinta-alan lävitse ulos menevän ja sisään tulevan ainemäärän erotuksen.

Massan säilyminen

Käytetään yllä olevaa yhtälöä määräten tarkasteltavaksi ominaisuudeksi massa $M$. Systeemin massan $M_S$ muutos on nolla, sillä massaa ei synny eikä katoa, eli voidaan kirjoittaa yhtälö muotoon

Kuvassa CV on kontrollitilavuus, jossa 1-ulotteiset kanavat 1 ja 2 ovat sisään virtauskanavia ja 3 ulosvirtauskanava. Nyt Reynoldsin teoreema massalle voitaisiin kirjoittaa muotoon $\int \frac{\partial \rho }{\partial t}dV+({\rho }_3{A}_3{V}_3)-({\rho }_1{A}_1{V}_1)-({\rho }_2{A}_2{V}_2)=0.$

$\frac{d{M}_S}{dt}=\int \frac{\partial \rho }{\partial t}dV+\int \rho \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}dA=0$.

Lisäksi, jos aineen virtaus kontrollitilavuuden sisään ja ulos kulkee yksiulotteisista kanavista, yhtälö merkitään muotoon

$\int \frac{\partial \rho }{\partial t}dV+\sum _i({\rho }_i{A}_i{V}_i{)}_{ulos}-\sum _i({\rho }_i{A}_i{V}_i{)}_{sisaan}=0$,

missä termi $\sum _i({\rho }_i{A}_i{V}_i{)}_{ulos}$ on summa ulosvirtauskanavien läpi kulkeneiden virtojen massanopeuksista ja $\sum _i({\rho }_i{A}_i{V}_i{)}_{sisaan}$ sisään virtauskanavien läpi kulkeneiden virtauksien massanopeuksien summa.