Keskitetty kuusikulmioluku

Malline:Tarkistettava Keskitetty kuusikulmioluku eli hex-luku (Malline:K-en, hex number) on keskitetty kuvioluku, joka voidaan esittää kuviolla, jonka muodostaa merkitty piste keskellä sekä sen ympärillä joukko muita merkittyjä pisteitä, jotka muodostavat sisäkkäisiä kuusikulmioita ja yhdessä heksagonaalisen hilan.

1		7		19		37
+1		+6		+12		+18

Osoittautuu, että n:s keskitetty heksagonaalinen luku voidaan laskea kaavalla

n^{3} - (n - 1)^{3} = 3 n (n - 1) + 1 .

Kaava voidaan esittää myös muodossa

1 + 6 (\frac{1}{2} n (n - 1))

,

mikä osoittaa, että n:s keskitetty kuusikulmio saadaan kertomalla $n - 1$ :s kolmioluku kuudella ja lisäämällä tuloon 1.

Ensimmäiset kymmenen keskitettyä kuusikulmiolukua ovat 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217 ja 271.^[1]

Voidaan todeta, että kymmenjärjestelmässä keskitettyjen kuusikulmiolukujen viimeinen numero vaihtelee toistaen lukusarjaa 1–7–9–7–1.

Keskitetyillä kuusikulmioluvuilla on käytännöllisiä sovelluksia materiaalien logistiikassa, esimerkiksi pakattaessa pyöreitä esineitä suurempaan pyöreään säiliöön, esimerkiksi nakkimakkaroita pyöreisiin tölkkeihin tai johtimia kaapeliin.

Ensimmäisten n keskitetyn kuusikulmioluvun summa on kuutio $n^{3}$ . toisin sanoen keskitetyt heksagonaaliset pyramidiluvut ja kuutioluvut ovat samoja lukuja, vaikka esittävätkin erilaisia kuvioita. Toisaalta keskitetyt kuusikulmioluvut voidaan käsittää peräkkäisten kuutiolukujen erotuksiksi, niin että keskitetyt kuusikulmioluvut ovat kuutioiden gnomoneja. Tämä ilmenee geometrisesti oheisesta kaaviosta. Erityisesti ne keskitetyt kuusikulmioluvut, jotka ovat alkulukuja, ovat kuutiollisia alkulukuja, jotka saadaan lausekkeesta $p = \frac{x^{3} - y^{3}}{x - y}$ joillakin kokonaislukuarvoilla x ja y. Esimerkiksi luku 7 saadaan tästä lausekkeesta, kun x = 2 ja y = 1, ja luku 19, kun x = 3 ja y = 2.

Luvun $(2 n)^{2}$ ja n:nnen keskitetyn kuusikulmioluvun erotus on muotoa $3 n^{2} + 3 n - 1$ , kun taas luvun $(2 n - 1)^{2}$ ja n:nnen keskitetyn kuusikulmioluvun erotus on prooninen luku eli kahden peräkkäisen kokonaisluvun tulo $n (n - 1)$ .