LU-hajotelma

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona. Tällöin siis matriisi

$M=LU$

missä $L$ on alakolmiomatriisi ja $U$ yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin $L$ diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi $3\times 3$-matriisille LU-hajotelma on siis

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ l_{12}& 1& 0\\ l_{13}& l_{23}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}\\ 0& u_{22}& u_{23}\\ 0& 0& u_{33}\end{array}\right]$

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

Käyttö determinantin laskemiseen

LU-hajotelman avulla matriisin $A$ determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin $U$ diagonaalialkoiden tulo eli

$\det A={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{u}_{ii}$

Käyttö käänteismatriisin laskemiseen

Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä

$LU{\overrightarrow{x}}_i={\overrightarrow{e}}_i$

missä kukin ${\overrightarrow{e}}_i$ on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin ${\overrightarrow{x}}_i$ on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.

Katso myös

• QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
• Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite