Choleskyn hajotelma

Choleskyn hajotelma on matriisihajotelma, joka määritellään seuraavasti: Olkoon $A$ mikähyvänsä symmetrinen positiivisesti definiitti $n\times n$-matriisi. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen yläkolmiomatriisi $U$, jossa on positiivisia alkioita diagonaalilla siten, että $A=L^{T}L$, missä $L^T$ on matriisin $L$ transpoosi. Toinen tapa esittää asia on valita yksikäsitteinen yläkolmiomatriisi $U$ ja diagonaalimatriisi $D=d_i$, jolloin Choleskyn hajotelma voidaan kirjoittaa muotoon $A=U^{T}DU$. Tällöin siis $L=D^{\frac{1}{2}}U$.

Esimerkki Choleskyn hajotelmasta symmetrisillä reaaliarvoisilla matriiseilla (tyhjät kohdat ovat nollia):

$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{ccc}4& 12& -16\\ 12& 37& -43\\ -16& -43& 98\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{ccc}2& & \\ 6& 1& \\ -8& 5& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 6& -8\\ & 1& 5\\ & & 3\end{array}\right)\end{array}$

ja sama muodossa $U^{T}DU$:

$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{ccc}4& 12& -16\\ 12& 37& -43\\ -16& -43& 98\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ 3& 1& \\ -4& 5& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& & \\ & 1& \\ & & 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -4\\ & 1& 5\\ & & 1\end{array}\right)\end{array}$