Weierstrassin elliptinen funktio

Malline:Lähteetön Weierstrassin elliptinen funktio meromorfinen funktio, joka on yksinkertaisin esimerkki elliptisestä funktiosta. Erotuksena Jacobin elliptisistä funktioista, Weierstrassin elliptisellä funktiolla on kussakin perussuunnikkaassaan vain yksi kaksinkertainen napa. Näitä funktioita nimitetään myös ℘-funktioiksi, jossa Malline:Unicode on käsinkirjoitettu p (Unicode-merkki U+2118). Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon, Karl Weierstrassin mukaan.

$\mathrm{\wp }(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{1}{(z-2m{\omega }_1-2n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{(2m{\omega }_1+2n{\omega }_2{)}^2}$,

missä ${\omega }_1$ ja ${\omega }_2$ ovat funktion jaksot ja ${\omega }_1/{\omega }_2\notin ℝ$. Usein merkitään ${\mathrm{\Omega }}_{nm}=m2{\omega }_1+n2{\omega }_2$, jolloin ${\mathrm{\Omega }}_{nm}/2$ on funktion perussuunnikas. Funktion derivaatalle saadaan lauseke

${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)=-2\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2}\frac{1}{(z-2m{\omega }_1+2n{\omega }_2{)}^3}$,

joka on selvästi pariton funktio, eli ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(-z)=-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$. Myös $\mathrm{\wp }(z)$ itse on pariton. Koska Weierstrassin funktio on kaksijakoinen,

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\wp }(x+2{\omega }_1)=\mathrm{\wp }(x)\\ \mathrm{\wp }(y+2{\omega }_2)=\mathrm{\wp }(y)\end{array}$.

Weierstrassin elliptinen funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2=4(\mathrm{\wp }(z){)}^3-g_2\mathrm{\wp }(z)-g_3$.

Merkitsemällä $x=\mathrm{\wp }(z)$ ja $y={\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ nähdään, että tämä differentiaaliyhtälö on elliptinen käyrä. Yhtäpitävästi voidaan kirjoittaa myös integraaliesitys

$z=\underset{\mathrm{\wp }(z)}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{4t^2-g_{2}t-g_3}dt$.

Kaavoja

• Summakaava

$\mathrm{\wp }(z+y)=\frac{1}{4}(\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)}{\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)}{)}^2-\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)$

• Argumentin kaksinkertaistuskaava saadaan helposti summakaavasta

$\mathrm{\wp }(2z)=\frac{1}{4}(\frac{{\mathrm{\wp }}^{″}(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}{)}^2-2\mathrm{\wp }(z)$

• Origon lähellä funktiota voidaan approksimoida Laurentin sarjalla

$\mathrm{\wp }(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{20}{g}_2{z}^2+\frac{1}{28}{g}_3{z}^4+𝒪(z^6)$

${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)=-\frac{2}{z^3}+\frac{1}{10}{g}_{2}z+\frac{1}{7}{g}_3{z}^3+𝒪(z^5)$

Aiheesta muualla

• Weierstrassin elliptinen funktio MathWorldissa Malline:En