Von Mangoldtin funktio

Von Mangoldtin funktio, merkitään Λ(n), on eräs analyyttisen lukuteorian keskeisimpiä aritmeettisia funktioita. Se saa nollasta poikkeavia arvoja ainoastaan alkulukujen potenssien kohdalla, jolloin se ilmaisee potenssin kantaluvun.

Määritelmä

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p& \text{jos }n=p^k\text{ jollekin alkuluvulle }p\text{ ja kokonaisluvulle }k\ge 1\\ 0& \text{muulloin}\end{array}$

Ominaisuudet

Von Mangoldtin funktion arvojen summa yli luonnollisen kokonaisluvun $n$ tekijöiden ylitse on itse asiassa $\log n$:

$\sum _{d\mid n}\mathrm{\Lambda }(d)=\log n$

Käyttämällä kaavaan Möbiuksen inversiota saadaan

$\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log (\frac{n}{d})=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log (d)$.

Funktio esiintyy myös Riemannin zeeta-funktion derivaatassa. Logaritminen derivointi antaa

$\frac{d}{ds}\log \zeta (s)=\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}$

eli puolittain integroimalla saadaan

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log (n)}\frac{1}{n^s}$.