Vietan kaavat

Vietan kaavat antavat matematiikassa yhteyden polynomin kertoimien ja sen juurten summien ja tulojen välille. Kaavat ovat saaneet nimensä ranskalaisen matemaatikon François Vièten (1540–1603) mukaan. Kaavoja käytetään erityisesti algebrassa. Suomalaisessa lukiomatematiikassa niitä on aiemmin sovellettu toisen asteen yhtälöihin, jolloin voidaan määrittää juurten summa ja tulo yhtälöä ratkaisematta, tai käänteisesti konstruoida yhtälö, jonka juurten summa tai tulo on haluttu luku.

Kaavat

Polynomilla, jonka asteluku on n

$p(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

(jossa kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja ja a_n ≠ 0) on algebran peruslauseen mukaan n kompleksista juurta x₁, x₂, ..., x_n(jotka eivät välttämättä ole erillisiä). Vietan kaavat antavat yhteyden polynomin kertoimien { a_k } ja sen juurien { x_i } summien ja tulojen välille seuraavasti:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\dots +x_{n-1}+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}.\end{array}$

Esimerkki

Sovelletaan Vietan kaavoja toisen ja kolmannen asteen polynomeille:

toisen asteen polynomille $p(X)=a{X}^2+bX+c$, jonka juuret $x_1,x_2$ toteuttavat yhtälön $p(X)=0$ pätee

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Kolmannen asteen polynomille $p(X)=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$, jonka juuret $x_1,x_2,x_3$ toteuttavat yhtälön $p(X)=0$ pätee

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}.$

Todistus

Polynomi p(X) voidaan juuriensa $x_1,x_2,\dots ,x_n$ avulla kirjoittaa seuraavasti

$\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i=a_n\prod _{i=1}^n(X-x_i)=a_n[X^n-\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)X^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n(x_1{x}_2\cdots x_n)]$

Koska kaksi polynomia ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki kertoimet ovat yhtä suuret, on oltava

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\dots +x_{n-1}+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}.\end{array}$

Lähteet

• Malline:Lehtiviite

• Malline:Kirjaviite

• Malline:Kirjaviite