Tulon derivoimissääntö

Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.

Olkoot funktiot $f$ ja $g$ derivoituvia pisteessä $x$ . Tällöin funktio $h(x)=f(x)g(x)$ on derivoituva ja

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ .

Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$ .

Todistus

Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan

$f^{\prime }\left(a\right)=\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{f(a+\mathrm{\Delta }a)-f\left(a\right)}{\mathrm{\Delta }a}$ .'

Olkoon funktio $h(x)=f(x)g(x)$ derivoituva, ja todistetaan että

$h^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}.(1)$

Ilmaistaan yhtälö $(1)$ funktioiden $f$ ja $g$ avulla

$h^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}.(2)$

Lisätään ja vähennetään termi $f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)$ yhtälöön $(2)$ ja järjestetään termit uudelleen:

$h^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }g(x+\mathrm{\Delta }x))+f(x)\left(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right).(3)$

Derivaatan määritelmän perusteella

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

ja

$g^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$ .

Sen lisäksi nyt pätee

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }g(x+\mathrm{\Delta }x)=g(x)$ ,

jolloin yhtälöstä $(3)$ saadaan

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ .

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Derivoidaan ƒ(x) = x² sin(x). Koska x²:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x).

Yleistyksiä

Useamman kuin kahden funktion tulo

Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on

$(u\cdot v\cdot w{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v\cdot w+u\cdot v^{\prime }\cdot w+u\cdot v\cdot w^{\prime }$

Korkeamman asteen derivaatat

Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle:

$(uv{)}^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).$

Katso myös binomilause and binomikerroin.