Todennäköisyyden aksioomat

Todennäköisyysteoriassa tapahtuman A todennäköisyys $P(A)$ määritellään yleensä siten, että todennäköisyys P toteuttaa Kolmogorovin aksioomat, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, F, P) mitta-avaruus. (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma F perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys $P:F\to ℝ$ on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksiooma

Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

$P(A)\in ℝ\wedge P(A)\ge 0\mathrm{\forall }A\in F$

missä $F$ on tapahtumien joukko ja $A$ jokin tapahtuma joukossa $F$.

Toinen aksiooma

Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:

$P(\mathrm{\Omega })=1$.

Kolmas aksiooma

Tätä ehtoa kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai $\sigma$-additiivisuudeksi:

Jos tapahtumat $A_1,A_2,...A_n$ ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:

$P(A_1\cup A_2\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i).$.

Seurauksia

Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

Monotonisuus

$P(A)\le P(B)\mathrm{\forall }A,B\in F,A\subseteq B.$

Tyhjän joukon todennäköisyys

$P(\mathrm{\varnothing })=0.$

Todennäköisyys on normeerattu mitta

$0\le P(A)\le 1\mathrm{\forall }A\in F.$

Todistukset

Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyys

Määritellään $E_1=A$ ja $E_2=B\mathrm{\setminus }A$, missä $A\subseteq B\text{ ja }{E}_i=\mathrm{\varnothing }$ kaikilla $i\ge 3$. On helposti nähtävissä, että joukot $E_i$ ovat pistevieraita ja $E_1\cup E_2\cup \dots =B$. Siten kolmannesta aksioomasta saamme

$P(A)+P(B\mathrm{\setminus }A)+\sum _{i=3}^{\mathrm{\infty }}P(\mathrm{\varnothing })=P(B).$

Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on $P(B)$, joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus $P(A)\le P(B)$. Tyhjän joukon todennäköisyys $P(\mathrm{\varnothing })=0$ voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos $P(\mathrm{\varnothing })=a$ niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

$\sum _{i=3}^{\mathrm{\infty }}P(E_i)=\sum _{i=3}^{\mathrm{\infty }}P(\mathrm{\varnothing })=\sum _{i=3}^{\mathrm{\infty }}a=\{\begin{array}{cc}0& \text{jos }a=0,\\ \mathrm{\infty }& \text{jos }a>0.\end{array}$

Jos $a>0$, saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä $P(B)$, joka on äärellinen. Siis $a=0$ ja $P(\mathrm{\varnothing })=0$.

Todennäköisyys on normeerattu mitta

Ensimmäisen aksiooman nojalla

$P(A)\ge 0$ ja $P(A^c)=1-P(A)\ge 0$, mikä sisältää väitteen.

Kirjallisuutta

• Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (2007).
• Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).