Sigma-algebra

Malline:LähteetönSigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmä

Olkoon $\mathrm{\Omega }$ mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla $\mathrm{\Omega }$ on sen osajoukkojen joukkoperhe $ℱ$, joka toteuttaa ehdot:

1. $\varnothing \in ℱ$
2. jos $A\in ℱ$, niin $A$:n komplementtijoukko $A^c\in ℱ$
3. jos $A_k\in ℱ$ kaikilla $k\in K$, missä $K$ on numeroituva joukko, niin $\bigcup _{k\in K}{A}_k\in ℱ$.

Sigma-algebran ominaisuuksia

Sigma-algebran $ℱ$ ominaisuuksia:

• perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli $\mathrm{\Omega }\in ℱ$
• Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos $A\in ℱ$ ja $B\in ℱ$, niin esimerkiksi $A\cup B\in ℱ$, $A\cap B\in ℱ$ ja $A\setminus B\in ℱ$
• jos $A_k\in ℱ$ kaikilla $k\in K$, missä $K$ on numeroituva, niin $\bigcap _{k\in K}{A}_k\in ℱ$
• sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä

Triviaali sigma-algebra on joukko $\{\varnothing ,\mathrm{\Omega }\}$. Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran $ℱ$ ali-sigma-algebra on joukkoperhe $𝒜\subset ℱ$, joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon $ℬ$ mielivaltainen joukkoperhe joukon $\mathrm{\Omega }$ osajoukkoja. Joukkoperheen $ℬ$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään $\sigma (ℬ)$, on suppein sigma-algebra, jolla $ℬ\subset \sigma (ℬ)$.

Olkoon $f$ kuvaus $\mathrm{\Omega }\to ℝ$. Kuvauksen $f$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään $\sigma (f)$, on suppein sigma-algebra, jonka suhteen $f$ on mitallinen. $\sigma (f_1,f_2)$ on suppein sigma-algebra, jonka suhteen $f_1$ ja $f_2$ ovat mitallisia.

Olkoon $ℱ$ sigma-algebra ja ${ℱ}_n$ sen alisigma-algebra jokaisella $n\in \mathbb{N}$. Jos ${ℱ}_n\subset {ℱ}_{n+1}$ jokaisella $n\in \mathbb{N}$, niin $({ℱ}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebroja

Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite

Aiheesta muualla

• MathWorld. Sigma-Algebra