Tangenttilause

Kolmio.

Tangenttilause on euklidisen geometrian perustulos. Sen mukaan kolmiossa, jonka kaksi kulmaa ovat $\alpha$ ja $\beta$ ja näitä vastaavien sivujen pituudet ovat $a$ ja $b$, on voimassa:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}{\tan \frac{\alpha -\beta }{2}}$.

Todistus

Sinilauseen mukaan

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$

Olkoon

$d=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta },$

jolloin

$a=d\sin \alpha \text{ ja }b=d\sin \beta .$

Tällöin

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

Kun käytetään identiteettiä

$\sin (\alpha )\pm \sin (\beta )=2\sin \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha \mp \beta }{2}\right),$

saadaan

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}{2\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Katso myös

• Sinilause
• Kosinilause
• Kotangenttilause