Sinilause

Sinilause on trigonometrian tulos, jonka avulla voi määrittää kolmion sivun pituuden tai kulman suuruuden silloin, kun kolmiosta tunnetaan jokin pari (sivu ja kulma) vastakkaisia osia.

Jos kolmion $ABC$ kulmat ovat $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sivut ovat $a$, $b$, ja $c$ ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on $R$, on voimassa

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$.

Sinilauseen todistamiseksi piirretään kolmion $ABC$ ympäri ympyrä ja siihen halkaisija $B{A}^{\prime }$. Kehäkulmalauseen nojalla $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }B{A}^{\prime }C=\alpha$. Koska $B{A}^{\prime }$ on ympyrän halkaisija, $\mathrm{\angle }BC{A}^{\prime }=90^{\circ }$ (Thaleen lause). Suorakulmaisesta kolmiosta $A^{\prime }BC$ luetaan $a=2R\sin (\mathrm{\angle }B{A}^{\prime }C)=2R\sin \alpha$ eli

$\frac{a}{\sin \alpha }=2R$.

Samoin saadaan kolmion kahta muuta sivua ja kulmaa koskeva yhtälö.

Sinilauseeseen perustuu kolmiomittaus. Jos pisteiden $B$ ja $C$ välinen etäisyys ja kulmat $\mathrm{\angle }CBA=\beta$ sekä $\mathrm{\angle }ACB=\gamma$ on mitattu, kulma $\mathrm{\angle }BAC=\alpha$ voidaan laskea kolmion kulmasumman perusteella: $\alpha =180^{\circ }-(\beta +\gamma )$. Pisteen $A$ etäisyydet pisteistä $B$ ja $C$ ovat nyt

$AB=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }\cdot BC$ ja $AC=\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }\cdot BC$.

Pallokolmioille sinilause pätee muodossa

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$,

missä

$A$

,

$B$

ja

$C$

ovat pallokolmion kulmat ja

$a$

,

$b$

ja

$c$

sen (kulmamitoissa ilmaistut) sivut.

Katso myös

• Kosinilause
• Tangenttilause
• Kotangenttilause
• Kolmion ratkaiseminen

Aiheesta muualla

• Opetushallitus, etälukio: Sinilause Malline:Wayback