Tangentiaalinen monikulmio

Tangentiaalinen monikulmio eli ympyrän ympäri piirretty monikulmio on geometriassa monikulmio, jonka kaikki sivut sivuavat monikulmion sisälle piirrettyä ympyrää. Ympyrää kutsutaan sen vuoksi monikulmion sisälle piirretyksi ympyräksi ^[1] eli sisäympyräksi (Malline:K-en) ja sen keskipistettä sisäympyrän keskipisteeksi. Sivuamisen vuoksi sivut ovat sisäympyrän tangentteja eli myös tangenttijanoja. Monikulmion sidonnaisuus ympyrään rajoittaa sen geometriaa ja yksinkertaistaa joitakin monikulmioille johdettuja laskukaavoja. Tunnetuimmat tangentiaaliset monikulmiot ovat säännölliset monikulmiot, joiden avulla etsittiin antiikin aikana piille likiarvoja.^[2]^[3]

Tangentiaaliset monikulmiot voivat olla yksinkertaisia, jolloin sivut eivät leikkaa toisiaan, tai muita, joissa sivut leikkaavat toisiaan. Itseään leikkaavia monikulmioita, jotka voivat olla myös tangentiaalisia, ovat esimerkiksi tähtimonikulmiot tai tähdet. Yksinkertaisista monikulmioista tulevat kyseeseen vain konveksit monikulmiot.

Erityispiirteet

Tangentiaalinen monikulmio perii yleisen monikulmion kaikki ominaisuudet, mutta sisäympyrän sidonnaisuudesta seuraa joitakin erityispiirteitä:

Sisäympyrä sivuaa kaikkia monikulmion sivuja. Ympyrän keskipisteestä piirretyt säteet ovat kohtisuorassa sivuja vastaan. Sivut ovat myös säteen r etäisyydellä keskipisteestä.
Monikulmion kärjen viereisten sivujen sivuamispisteet sijaitsevat yhtä kaukana kärjestä.^[1] Kärkeä voi tulkita ympyrän ulkopuoliseksi pisteeksi, josta piirretään kaksi tangenttia ympyrälle. Kärjestä sivuamispisteeseen piirrettyä janaa voidaan kutsua tangenttijanaksi. Tangenttijanojen summa on vastaa kahden piirin pituutta.
Kulma noudattaa tangenttikulman ominaisuuksia.^[4] Tätä ominaisuutta hyödynnetään erityisesti tangentiaalisia monikulmioita koskevissa todistuksissa.
Sisäympyrän keskipisteen ja kärjen välinen jana puolittaa kyseisen kulman.^[1]

Teoria tangenttijanoilla

Tangentiaalinen n-kulmainen monikulmio voidaan ajatella syntyneet murtoviivasta, jossa on n-janaa. Kun murtoviiva "kiedotaan" kerran, kaksi tai useamman kerran tietyn säteisen ympyrän ympäri, voidaan murtoviivan ensimmäinen ja viimeinen päätepiste yhdistää toisiinsa. Tällainen monikulmio sivuaa sisälle jäänyttä sisäympyrää jokaisen janan osalta. Nämä sivuamiset ovat sännönmukaisia ja laskennollisesti hallittavia. Seuraavat laskelmat on esitetty n-kulmiolle, joka kiertää r-säteistä ympyrää k kierrosta. Tarkoitus on laskea, millä säteen arvoilla ja millä muilla ehdoilla monikulmio muodostuu.^[5]

Merkinnät

Merkitään n-kulmion kärjet A₁, A₂, A₃, ..., A_n ja sivuja a₁ = A₁A₂, a₂ = A₂A₃, ..., a_n = A_nA₁ (viimeinen: paluu alkuun). Sivulla a_i oleva ympyrän sivuamispiste merkitään T_i. Sivuamispiste jakaa sivun kahteen tangentiaalijanaan ja esimerkiksi kärjestä A₁ lähtevät janat merkitään t₁ = A₁T_n = A₁T₁. Ne ovat molemmat t₁:n mittaisia, koska (kuvassa) nelikulmio A₁T₁OT_n on symmetrinen janan A₁O suhteen: kolmiot A₁T₁O ja OT_nA₁ ovat yhtenevät. Koska tilanne toistuu jokaisen kärjen A_i osalta, ovat kaikista kärjistä erkanevat molemmat tangenttijanat t_i yhtä pitkät. Merkitään vielä kärjen A_i sisäkulmaa α_i = 2 * β_i, koska jana A₁O on kulman α_i kulmanpuolittaja, sekä monikulmion sivua A_iA_i+1 vastaavaa ympyrän keskuskulmaa φ_i.^[5]

Monikulmion ehdot

Jotta ympyrän kiertävä murtoviiva muodostaisi n-kulmion, tilisi se täyttää seuraavat ehdot. Monikulmion sisäkulmat ^[5]

α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n} = 2 β_{1} + 2 β_{2} + \dots + 2 β_{n} = 2 (β_{1} + β_{2} + \dots + β_{n}) = (n - 2 k) \cdot 18 0^{\circ}

eli

β_{1} + β_{2} + \dots + β_{n} = (n - 2 k) \frac{18 0^{\circ}}{2}

.^[6]

Ympyrän keskipisteestä lähtevät keskuskulmat

φ_{1} + φ_{2} + \dots + φ_{n} = 2 k \cdot 18 0^{\circ}

.^[6]

Jokaisesta monikulmion sivuun liittyvän kolmion A_iA_i+1O kulmat toteuttavat kolmion kulmien summan

β_{i} + β_{i + 1} = 18 0^{\circ} - φ_{i}

.^[6]

Kiertämällä monikulmion piiri, saadaan kulmien summa laskettua

\sum_{k = 1}^{n} (β_{i} + β_{i + 1}) = \sum_{k = 1}^{n} (18 0^{\circ} - φ_{i}) = n \cdot 18 0^{\circ} - \sum_{k = 1}^{n} φ_{i} = n \cdot 18 0^{\circ} - 2 k \cdot 18 0^{\circ}

eli

\sum_{k = 1}^{n} α_{i} = (n - 2 k) \cdot 18 0^{\circ}

,^[6]

kuten yllä jo todettiinkin.

Ratkaisun muodostaminen

Voidaan osoittaa, että jos on annettu (positiivisten) sivujen pituudet a₁, a₂, ..., a_n ja se, miten janat on jaettu tangenttijanoiksi (positiivisen pituiset) osiin t₁, t₂, ..., t_n siten, että

t_{i} + t_{i + 1} = a_{i}

,^[7]

missä niiden pituus riippuu kulmasta γ

t_{i} = r \cot γ_{i}

,^[8]

silloin on olemassa ainakin yksi n-kulmio, jonka sisälle jää ympyrä edellä kuvatulla tavalla. Niitä saattaa olla vielä enemmän eli k erilaisia, jolloin lukua k rajoittaa ehto

k \leq ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ .

^[7]

Niin sanotun n-kulmion sisäympyrän säteet generoivan polynomin muodostamiseksi tulee laskea tangentijanojen pituuksista sille kertoimet. Ne voidaan merkitä tunnuksilla S_jⁿ ja laskea ^[9]

S_{1}^{n} = t_{1} + t_{2} + \dots + t_{n}

, näitä termejä

(\binom{n}{1}) = n

kappaletta,

S_{2}^{n} = t_{1} t_{2} + t_{1} t_{3} + \dots + t_{1} t_{n} + t_{2} t_{3} + t_{2} t_{4} + \dots + t_{2} t_{n} + t_{3} t_{4} + t_{3} t_{5} + \dots + t_{3} t_{n} + \dots + t_{n - 1} t_{n}

, näitä termejä

(\binom{n}{2})

kappaletta,

S_{3}^{n} = t_{1} t_{2} t_{3} + t_{1} t_{2} t_{4} + t_{1} t_{2} t_{5} + \dots + t_{1} t_{2} t_{n}

+ t_{1} t_{3} t_{4} + t_{1} t_{3} t_{5} + t_{1} t_{3} t_{6} + \dots + t_{1} t_{3} t_{n}

. . .

+ t_{2} t_{3} t_{4} + t_{2} t_{3} t_{5} + t_{2} t_{3} t_{6} + \dots + t_{2} t_{3} t_{n}

+ t_{2} t_{4} t_{5} + t_{2} t_{4} t_{6} + \dots + t_{2} t_{4} t_{n}

. . .

+ t_{n - 3} t_{n - 2} t_{n - 1} + t_{n - 3} t_{n - 2} t_{n} + t_{n - 3} t_{n - 1} t_{n} + t_{n - 2} t_{n - 1} t_{n}

, näitä termejä

(\binom{n}{3})

kappaletta,

. . .

S_{n - 1}^{n} = t_{1} t_{2} t_{3} \dots t_{n - 2} t_{n - 1} + t_{1} t_{2} t_{3} \dots t_{n - 2} t_{n} + t_{1} t_{2} t_{3} \dots t_{n - 3} t_{n - 1} t_{n} + \dots + t_{2} t_{3} t_{4} \dots t_{n}

, näitä termejä

(\binom{n}{n - 1}) = n

kappaletta.

S_{n}^{n} = t_{1} t_{2} t_{3} \dots t_{n}

, näitä termejä

(\binom{n}{n}) = 1

kappaletta.

Muodostustapa näkyy tässä, mutta todellisuudessa näistä tarvitaan vain parittomat tapaukset eli $S_{1}^{n}$ , $S_{3}^{n}$ , $S_{5}^{n}$ , ..., $S_{n}^{n}$ .

Monikulmion säteen generoiva polynomi, kun lasketaan n-kulmiota, jolla n on pariton luku, on

S_{1}^{n} r^{n - 1} - S_{3}^{n} r^{n - 3} + S_{5}^{n} r^{n - 5} - . . . + (- 1)^{s} S_{n}^{n} = 0

^[10]

ja kun lasketaan (n+1)-kulmiota, kun (n+1) on parillinen luku, on

S_{1}^{n + 1} r^{n - 1} - S_{3}^{n + 1} r^{n - 3} + S_{5}^{n + 1} r^{n - 5} - . . . + (- 1)^{s} S_{n}^{n + 1} = 0

,^[11]

missä eksponentti $s = (1 + 3 + 5 + \dots + n) + 1$ määrää viimeisen termin etumerkin.

n-kulmioiden säteen generoivat polynomit

Eräiden monikulmioiden säteet generoivat polynomit ovat ^[12]

Kolmio: $S_{1}^{3} r^{2} - S_{3}^{3} = 0$
Nelikulmio: $S_{1}^{4} r^{2} - S_{3}^{4} = 0$
Viisikulmio: $S_{1}^{5} r^{4} - S_{3}^{5} r^{2} + S_{5}^{5} = 0$
Kuusikulmio: $S_{1}^{6} r^{4} - S_{3}^{6} r^{2} + S_{5}^{6} = 0$
Seitsemänkulmio: $S_{1}^{7} r^{6} - S_{3}^{7} r^{4} + S_{5}^{7} r^{2} - S_{7}^{7} = 0$
Kahdeksankulmio: $S_{1}^{8} r^{6} - S_{3}^{8} r^{4} + S_{5}^{8} r^{2} - S_{7}^{8} = 0$
Yhdeksänkulmio: $S_{1}^{9} r^{8} - S_{3}^{9} r^{6} + S_{5}^{9} r^{4} - S_{7}^{9} r^{2} + S_{9}^{9} = 0$
Kymmenkulmio: $S_{1}^{10} r^{8} - S_{3}^{10} r^{6} + S_{5}^{10} r^{4} - S_{7}^{10} r^{2} + S_{9}^{10} = 0$

Näiden säteiden positiiviset ratkaisut ovat ne tapaukset, joilla n-kulmiolla voi kiertää ympyrän muodostaen monikulmion. Ratkaisuja voi merkitä r₁, r₂, r₃, ..., r_m, missä ratkaisujen lukumäärä saadaan lausekkeesta

m = ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋

Esimerkkejä

Kolmio

Kolmiot ovat aina tangentiaalisia, koska jokaisen kolmion sisälle voidaan piirtää ympyrä.^[13] Kolmiossa sisäympyrän sivuamispisteet jakavat sivut kahteen eripituiseen tangenttijanaan. Tangenttijana, joka lähteen kärjestä A on pituudeltaan s - a, koska kärjen vastainen sivu on pituudeltaan a (s on puolipiiri). Muiden tangenttijanojen pituudet ovat vastaavan suuruisia.^[14]^[15]

Sisäympyrän säde on $r = \frac{A}{p} = \frac{A}{2 s} = \frac{A}{a + b + c} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} .$ ^[14]^[15]

Nelikulmio

Tangentiaalisia nelikulmioita ovat vain osa nelikulmioista. Riittävä ehto tangentiaalisuudelle on, että nelikulmion vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet sen piiristä (s on puolipiiri) eli

s = a + c = b + d

.^[16]^[17]

Tangentiaalisia nelikulmioita ovat esimerkiksi neliöt, neljäkkäät ja tasakylkiset puolisuunnikkaat.

Yleisen tangentiaalisen nelikulmion sisäympyrän säde on

r = \sqrt{a b c d} \sin \frac{α + γ}{2}

^[16]

= \frac{A}{p} = \frac{A}{2 s} = \frac{A}{a + b + c + d} = \frac{\sqrt{4 p^{2} q^{2} - (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2}}}{2 (a + b + c + d)},

^[17]

missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

Kuusikulmio

Tangentiaalisen kuusikulmion kolme lävistäjää leikkaavat Brianchonin lauseen mukaan toisensa yhteisessä pisteessä.

Lähteet

Viitteet

Malline:Viitteet

Aiheesta muualla

Radić, Mirko: Some relations concerning k-chordal and k-tangential polygons
Radić, Mirko & Pogány, Tibor K.: Algebraic Equations Connected with Tangential Polygons and Their Solvability by Radicals
Math Open Reference: Incircle of a Polygon
http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/wegner/weg3.htm
Ara, Kalaimaran: AN INNOVATIVE ANALYSIS TO DEVELOP NEW THEOREMS ON IRREGULAR POLYGON Malline:Wayback
http://www.smpmaths.org.uk/F2ch13angles.pdf Malline:Wayback

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala78 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä TangentialPolygon ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Royster ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala90 ei löytynyt
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic197 ei löytynyt
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic197_2 ei löytynyt
↑ ^7,0 ^7,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic198_1 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic198_3 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic200 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic201_17 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic201_18 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic201 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä TangentialTriangle ei löytynyt
↑ ^14,0 ^14,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä yiu21 ei löytynyt
↑ ^15,0 ^15,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä buck ei löytynyt
↑ ^16,0 ^16,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä yiu156 ei löytynyt
↑ ^17,0 ^17,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä TangentialQuadrilateral ei löytynyt

[vaisala78-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala78 ei löytynyt

[TangentialPolygon-2] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä TangentialPolygon ei löytynyt

[Royster-3] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Royster ei löytynyt

[vaisala90-4] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä vaisala90 ei löytynyt

[Radic197-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic197 ei löytynyt

[Radic197_2-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic197_2 ei löytynyt

[Radic198_1-7] 7,0 ^7,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic198_1 ei löytynyt

[Radic198_3-8] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic198_3 ei löytynyt

[Radic200-9] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic200 ei löytynyt

[Radic201_17-10] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic201_17 ei löytynyt

[Radic201_18-11] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic201_18 ei löytynyt

[Radic201-12] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä Radic201 ei löytynyt

[TangentialTriangle-13] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä TangentialTriangle ei löytynyt

[yiu21-14] 14,0 ^14,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä yiu21 ei löytynyt

[buck-15] 15,0 ^15,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä buck ei löytynyt

[yiu156-16] 16,0 ^16,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä yiu156 ei löytynyt

[TangentialQuadrilateral-17] 17,0 ^17,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä TangentialQuadrilateral ei löytynyt

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Tangentiaalinen monikulmio

Sisällys

Erityispiirteet

Teoria tangenttijanoilla

Merkinnät

Monikulmion ehdot

Ratkaisun muodostaminen

n-kulmioiden säteen generoivat polynomit

Esimerkkejä

Kolmio

Nelikulmio

Kuusikulmio

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Tangentiaalinen monikulmio

Erityispiirteet

Teoria tangenttijanoilla

Merkinnät

Monikulmion ehdot

Ratkaisun muodostaminen

n-kulmioiden säteen generoivat polynomit

Esimerkkejä

Kolmio

Nelikulmio

Kuusikulmio

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Haku