Rollen lause

Rollen lauseen havainnollistus.

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä $[a,b]$ jatkuvan ja avoimella välillä $(a,b)$ derivoituvan funktion derivaatta saa arvon $0$ jossain avoimen välin $(a,b)$ pisteessä $c$, mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin $[a,b]$ päätepisteissä $a$ ja $b$. Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

$f(a)=f(b)⟹\mathrm{\exists }c\in (a,b):f^{\prime }(c)=0.$

Todistus

Oletuksen nojalla funktio $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä $a$ ja $b$, niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta $f^{\prime }(x)=0$ jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin $(a,b)$ pisteessä $x$. Osoitetaan, että tässä pisteessä $f^{\prime }(x)=0$. Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos $y<x$, niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\ge 0,$

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska $f(x)$ on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska $x-y>0$. Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

$\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\ge 0.$

Tämä perustuu siihen, että funktio $f$ on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos $y>x$, niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\le 0,$

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska $f(x)$ on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska $x-y<0$. Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

$\underset{y\to x}{\lim }\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\le 0.$

(iii) Koska funktio $f$ on derivoituva pisteessä $x$, niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että

$f^{\prime }(x)=0.$

Kun merkitään $c=x$, niin todistus on päätöksessään. $◻$

Katso myös

• Jatkuvien funktioiden väliarvolause